B样条曲线节点消去方法介绍

B样条曲线的节点消去（Knot Removal）是几何建模与计算机辅助设计中的重要技术，其目标是在尽可能保持曲线形状不变的前提下，移除一个或多个节点，从而简化曲线的表示形式。该技术广泛应用于数据压缩、模型优化和计算效率提升。

一、基本概念

设一条 p 次B样条曲线表示为：

C(u) = Σ(i=0 to n) P_i * N_i,p(u)

其中：

• P_i：控制顶点
• N_i,p(u)：第 i 个 p 次B样条基函数
• 节点向量 U = {u_0, u_1, ..., u_m}，满足 m = n + p + 1

目标是从节点向量 U 中移除一个内部节点 ū，得到新的节点向量 U' 和新的控制顶点 {P'_i}，使得新曲线 C'(u) 尽可能逼近原曲线 C(u)。

二、节点消去原理

节点消去是节点插入的逆过程。若某节点 ū 可被精确消去（即消去后曲线完全不变），则称该节点为“冗余节点”。一般情况下，节点消去会引入一定误差，因此常采用最小二乘或几何逼近方法进行近似消去。

三、消去单个节点的算法步骤（基于逆节点插入）

假设要从节点向量 U 中移除节点 ū，且 ū 属于区间 [u_k, u_{k+1})，重数为 r（通常 r = 1）。

步骤1：确定受影响的控制点范围

移除节点 ū 会影响控制点 P_{k-p} 到 P_k（共 p+1 个点）。

步骤2：使用逆节点插入公式更新控制点

设原控制点为 P_i，新控制点为 P'_i。对于 i = k−p, k−p+1, ..., k−1，有：

P'i = [(ū − u_i) * P_i + (u{i+p+1} − ū) * P_{i+1}] / (u_{i+p+1} − u_i)

注意：若分母为零（即节点重复），需特殊处理或跳过。

其余控制点保持不变：

P'_i = P_i, 对于 i < k−p 或 i ≥ k

节点向量更新为：

U' = U \ {ū}

即从 U 中删除一个 ū 实例。

四、多节点消去

可依次应用单节点消去算法。但需注意：

• 每次消去后应检查几何误差
• 建议按从低重数到高重数、从端点向中间的顺序进行
• 可设置误差阈值 ε，当逼近误差超过 ε 时停止消去

五、误差评估

定义消去后的最大偏差为：

E_max = max{ ||C(u) − C'(u)|| : u ∈ [a,b] }

可通过采样或区间分析估算。若 E_max ≤ ε，则认为消去可接受。

六、应用条件与限制

• 节点 ū 不能是端点（否则改变定义域）
• 曲线在 ū 处的连续性应不低于 C^{p−r}（r 为重数）
• 高重数节点更难消去
• 多重节点消去可能导致控制多边形畸变

七、总结

B样条曲线的节点消去是一种有效的模型简化手段。其核心是逆节点插入算法，通过调整控制点来补偿节点移除带来的影响。实际应用中需结合误差控制，确保几何精度满足要求。