控制建模matlab练习16：线性状态反馈控制器-⑤轨迹追踪

此练习，主要是使用状态空间方程来设计控制器的方法和思路：
①系统建模；
②系统的能控性；
③极点配置；
④最优化控制LQR；
⑤轨迹追踪；
以下是，第⑤部分：轨迹追踪；

一、问题引出

• 从前面几节练习的控制器设计，都是围绕最后的平衡点在角度和角速度都为0，即 z_f=[0,0]^T 进行分析；
• 如果，设计的目标是将系统的状态稳定在一个非零的目标值 z_d=[z_1d,z_2d]^T ，该如何设计呢？

二、轨迹追踪设计

• 设计 u(t)使得系统状态稳定在一个非0的目标值 z_d ；
• 此时，需要控制量 u(t)（即动态系统的输入）有两个功能；
  • ①改变系统的平衡点位置到 z_d ；
  • ②令 z_d 成为一个稳定的平衡点。
• 书中通过推导分析，角速度 z_2d 的唯一平衡点只能是0；
• 而角度 z_1d 的平衡点是可以通过输入 u(t)改变的；
• 从下图，
  • 0<t<10时，是 π/20 ；
  • 在10<t<20时，是 0 ；
  • 在20<t<30时，是 -π/20 ；
    
• 令：
  $$u(t)=F{z}_d+K_{e}e(t)$$
• Fz_d 是：前馈，用来将平衡点从 z_1f 移动到 z_1d ；
• K_ee(t) 是：用来配置极点，使得系统稳定；
• e(t) 是：系统误差，将以误差来进行分析，误差状态平衡点为 e_f=[0,0]^T
• 在MATLAB中的代码如下，包括两个文件①Tracking.m、②sys.m。
• 其中，ode45是一种解线性微分方程的算法：
  • @sys：输入，系统
  • tspan：输入，时间区间
  • z0：输入，状态变量初始值，z0 = [0;0];从0开始的
  • t，输出，时间
  • z，输出，状态变量

%% Tracking.m %%
clc;clear;close all;
%% 定义仿真区间
tspan =[0 40];
z0 = [0;0];
%% 求解
[t,z]=ode45(@sys,tspan,z0);
hold on; 
plot (t,z(:,1));
grid on;

%% sys.m %%
%% 使用时需与Tracking.m在同一文件夹内
function  dz = sys(t, z)
%% 定义参数g=10;d=1;
%% 定义矩阵A=[0 1;g/d 0];B=[0;1];C = [1, 0];D = 0; 
%% 定义目标zdif t >= 0 & t <10z1d = pi/20;elseif t >= 20 & t <30z1d = -pi/20;elsez1d = 0;end %% 定义状态空间方程zd = [z1d; 0];%%平衡点位置Ke = [25, 7];%%书中已经求出的结果F = [-g/d, 0]; %%前馈e = zd - z; %%误差u = F * zd + Ke*e;dz = A*z + B*u;
end

三、运行结果

• 从图看出，可以很好的追踪到目标位置；

• 同样，ode45也能追踪非线性的，例如将sys.m文件中的这部分修改：
• 将 z_1d=sin(t) ，再看看同样能追踪到sin函数；

%% 定义目标zd% if t >= 0 & t <10%  z1d = pi/20;%  elseif t >= 20 & t <30%  z1d = -pi/20;%  else%  z1d = 0;% end z1d = sin(t);

四、与PID的比较

• 使用PID的控制框图：
  
• 使用本练习的，带有前馈的线性状态反馈控制器设计：
  
• 书中的对比结果：（如下图）
• 因为PID控制只使用输出的误差信号 e(t) 来设计控制器；
• 线性状态反馈控制器的设计，则用到所有状态变量 z(t) 来设计。
• 因为有更多的系统信息被用来设计控制器，所以状态反馈控制器的灵活度更大，有更多可调节的参数，也就更有可能达到满意的表现。
  

学习来源：《控制之美》[卷1]，王天威