数列的极限
将数字一个个地排成一列，就是数列。举个例子，调查班上同学家庭年收入，得到 155, 99, 238, 133, 175,…（单位：千元）这样就是一个数列，顾名思义，只不过把数字排成一列。
有时候，数列中的每一个数，可能会依循某种规律。譬如说等差数列
4 , 7 , 10 , 13 , . . . , 91 (1) 4, 7, 10, 13,..., 91 \tag{1} 4,7,10,13,...,91(1)
其规律就是第一项为 4，后面每到下一项就增加 3，一直列到 91。像这种情况，通常我们简单列几个项，别人就知道我们想表达的数列。但这件事如果要严格说起来，真是这样吗？譬如说，我列出数列前四项为 1, 4, 9, 16，你知道我的第五项是什么吗？你心想：「嘿嘿！这岂不简单！？不就是 25吗？」此时我狡猾地回答：「哈哈！我的第五项是π啦！因为我的一般式是
n 2 + ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( n − 3 ) ( n − 4 ) ( π − n 2 ) 24 n²+\frac{(n−1)(n−2)(n−3)(n−4)(π−n²) }{24} n2+24(n−1)(n−2)(n−3)(n−4)(π−n2) 呀！」。
其实只列前几项，严格说起来的话，是很糟糕的方式。但是，不少的考题就这么出了。
还是在写下数列时，就写清楚到底规律是什么比较好。
其中一种标示规律的方法，就是给出一般式。举例来说，
⟨ a n ⟩ = 3 n + 1 , 1 ≤ n ≤ 30 (2) ⟨a_n⟩= 3n+ 1, 1 ≤ n ≤ 30 \tag{2} ⟨an⟩=3n+1,1≤n≤30(2)
就很清楚地告诉人家，第一项 a 1 a_1 a1 就代 n = 1 n= 1 n=1 得到 4， a 2 a_2 a2 代 n = 2 n= 2 n=2 得到 7。总共有 30项， a 30 = 91 a_{30}= 91 a30=91。其实这个就是我上面列的那个等差数列 (1)，要认出并不困难，从 3 n 3n 3n 可看出，当 n n n 每增加 1，一般项 a n a_n an 就增加 3，所以是等差数列，其公差为 3。又代 n = 1 n= 1 n=1，得知首项为 4。
如果要列出等比数列，可能长得像这样
a n = 5 ⋅ 3 n , 1 ≤ n ≤ 20 (3) a_n= 5 · 3^n, 1 ≤ n ≤ 20 \tag{3} an=5⋅3n,1≤n≤20(3)
可以看出，当 n n n 每增加 1，一般项 a n a_n an 就变为 3 倍，所以是等比数列，公比为 3。又代 n= 1，得知首项为 15。
另一种标示规律的方法，是使用递推式。举个例子像是
{ a 1 = 4 a n = a n − 1 + 3 , 2 ≤ n ≤ 30 (4) \begin{cases} a_1= 4\\a_n= a_{n−1}+ 3 , ~2 ≤ n ≤ 30 \end{cases}\tag{4} {a1=4an=an−1+3, 2≤n≤30(4)
递推是指为了写出这个数列的某一项，需使用这个数列本身的前一项来计算其值。以此例来说，在第二项以后，每一项都是将前一项再加上 3 而得到。当然也要注意，必须讲清楚第一项 a 1 a_1 a1，才有办法套用递推关系得到 a 2 、 a 3 、 ⋅ ⋅ ⋅ a_2、a_3、· · · a2、a3、⋅⋅⋅，否则光是知道这个前后项关系也无用。
如果一个数列是用递推式定的，有时候可以找出它的一般式。像是我所给的递推式，有看出来吗，又是那个等差数列(1)了！但有时候也不好找，例如斐波那契数列
a 1 = 1 , a 2 = 2 , a n + 2 = a n + 1 + a n , n ∈ N (5) a_1= 1, a_2= 2, a_{n+2}= a_{n+1}+ a_n, n\in N \tag{5} a1=1,a2=2,an+2=an+1+an,n∈N(5)
你能找出一般式吗？是找得出啦，一般式为
a n = 5 5 [ ( 1 + 5 2 ) n − ( 1 − 5 2 ) n ] (6) a_n= \frac{\sqrt{5}}{5}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right] \tag{6} an=55[(21+5)n−(21−5)n](6)
注：此通项的计算方法以及关于斐波那契数列更多的内容，请拙作参阅：
- 计算机考研之数据结构：斐波那契数列专题(1)
- 计算机考研之数据结构：斐波那契数列专题(2)
数列的项数不一定是有限项，也可能是无限多项，停不下来。这种数列称为无穷数列。例如将等差数列由 30 项扩展为无穷数列，便成为
⟨ a n ⟩ = 3 n + 1 , n ∈ N (7) ⟨a_n⟩= 3n+ 1, n \in N \tag{7} ⟨an⟩=3n+1,n∈N(7)
明显地，这个数列会越来越大，无止尽地大下去。
数列的取值并不一定都无止尽地变大。也可能，无穷数列的趋势是越来越接近一个定值。这件事情，我们可以用极限式来表示。
定义 1.1：数列的极限
若 n 越来越大，以至于无穷大时， a n a_n an 便跟着越来越靠近 L L L。那么我们就说，当 x → ∞ x\to\infty x→∞ 时，$a_n\to L%。若以极限式的写法就是
lim x → ∞ a n = L \lim_{x\to\infty}a_n= L x→∞liman=L
举例来说，在《庄子·天下》里有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”所以我们便有庄子数列： ⟨ a n ⟩ = 1 2 n ⟨a_n⟩= \frac{1}{2^n} ⟨an⟩=2n1 ，这是一个公比为 1 2 \frac{1}{2} 21 的无穷等比数列。明显地，随着 n n n 越来越大，庄子数列的一般项 a n a_n an 应该会越来越小、越来越接近 0。所以庄子数列的极限就是 0。在符号上，我们记为
lim n → ∞ a n = 0 (9) \lim_{n\to\infty} a_n= 0\tag{9} n→∞liman=0(9)
用以表达当 n n n 越来越大的时候，数列的一般项 a n a_n an，会趋近到 0。
必须强调一点，极限值与数列取值是不一样的概念。我们说 a n a_n an 趋近到 0，并不是在说它会变成 0。可能会，也可能不会，总之与极限值是不同概念。以庄子数列来说，我们注意那句“万世不竭”。虽说古人没有分子的概念，以致这句话若是以物理的观点来说其实是错的，你无法真的将物体一直切一半切不停。但其传达的意思就是说，虽然是会一直变小下去，小到越来越接近 0，但其实它并没有真正变成 0的一天。若从数学式上看，无论你对于 n n n 代入多少， 1 2 n \frac{1}{2^n} 2n1 都不会是 0。
当数列的趋势是越来越趋近到一个定值时，我们说它极限存在，这个数列是收敛的。如果数列并没有趋近到一个定值，我们就说它极限不存在，这个数列是发散的。所谓发散，就是不收敛。发散有两种情况，一种情况例如 ⟨ a n ⟩ = ( − 1 ) n ⟨a_n⟩=(-1)^n ⟨an⟩=(−1)n，其数列取值一直在 1, −1 跳来跳去，并不趋近一个定值。另一种情况即趋近到无穷大。此时虽然算是极限不存在，但这种情况我们依然可用极限式来表示。
定义 1.2 ：数列的极限
若 n n n 越来越大，以至于无穷大时， a n a_n an 便跟着也越来越大，以至于无穷大。
那么我们就说，当 n → ∞ n\to\infty n→∞ 时， a n → ∞ a_n\to\infty an→∞。若以极限式的写法就是
lim n → ∞ a n = ∞ \lim_{n→∞}a_n= ∞ n→∞liman=∞
性质 1.1: 收敛极限式的基本性质
如果 lim n → ∞ a n = α \lim_{n \to \infty} a_n = \alpha limn→∞an=α、 lim n → ∞ b n = β \lim_{n \to \infty} b_n = \beta limn→∞bn=β 及 c ∈ R c \in \mathbb{R} c∈R，那么：
- 加法 lim n → ∞ ( a n ± b n ) = α ± β \lim_{n \to \infty} (a_n \pm b_n) = \alpha \pm \beta limn→∞(an±bn)=α±β
- 常数倍 lim n → ∞ c ⋅ a n = c ⋅ lim n → ∞ a n = c ⋅ α \lim_{n \to \infty} c \cdot a_n = c \cdot \lim_{n \to \infty} a_n = c \cdot \alpha limn→∞c⋅an=c⋅limn→∞an=c⋅α
- 乘法 lim n → ∞ ( a n ⋅ b n ) = α ⋅ β \lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = \alpha \cdot \beta limn→∞(an⋅bn)=α⋅β
- 除法 lim n → ∞ a n b n = α β \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\alpha}{\beta} limn→∞bnan=βα，条件是 β ≠ 0 \beta \neq 0 β=0