算法——背包问题

算法——背包问题

本篇博文通过学习尚硅谷韩老师《数据结构与算法》课程所做，在此非常感谢！

概念

问题

有一个背包，容量为4磅 ， 现有如下物品：

物品	重量	价值
吉他(G)	1	1500
音响(S)	4	3000
电脑©	3	2000

• 要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出;
• 要求装入的物品不能重复;

思路分析

• 背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分01背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)；
• 这里的问题属于01背包，即每个物品最多放一个。
• 须知：而无限背包可以转化为01背包(因此这里我们只演示01背包)；

动态规划算法

• 动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法
• 动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
• 与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )
• 动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.

分析

每次遍历到的第i个物品，根据w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品，**设v[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量。再令table[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。**则我们有下面的结果：

• table[i][0] = table[0][j] = 0; (即表示 填入表的第一行和第一列是0)
• 当w[i] > j时：table[i][j]=table[i-1][j] ；(即表示当准备加入新增的商品的容量大于 当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略)
• 当j>=w[i]时： table[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+table[i-1][j-w[i]]}(当准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量，就选择两变量的最大者)
  • table[i-1][j]： 就是上一个单元格的装入的最大值；
  • v[i]: 表示当前商品的价值 ；
  • table[i-1][j-w[i]] ： 装入第i-1的类型商品到剩余空间j-w[i]的最大值；

代码实现

package edu.hebeu.dynamic_programming;/*** 背包问题* * 背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分`01背包`和`完全背包`(`完全背包`指的是：每种物品都有无限件可用)；这里的问题属于`01背包`，即每个物品最多放一个。须知：而`无限背包`可以转化为`01背包`(因此这里我们只演示`01背包`)；算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品，根据`w[i]`和`v[i]`来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品，设`v[i]`、`w[i]`分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量。再令`table[i][j]`表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。则我们有下面的结果：1. `table[i][0] = table[0][j] = 0`; (即表示 填入表的第一行和第一列是0)2. 当`w[i] > j`时：`table[i][j]=table[i-1][j]` ；(即表示当准备加入新增的商品的容量大于 当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略)3. 当`j>=w[i]`时： `table[i][j]=max{table[i-1][j], v[i]+table[i-1][j-w[i]]} `(当准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量，就选择两变量的最大者)3.1. `table[i-1][j]`： 就是上一个单元格的装入的最大值；3.2. `v[i]`: 表示当前商品的价值 ；3.3. `table[i-1][j-w[i]]` ： 装入第`i-1`的类型商品到`剩余空间j-w[i]`的最大值；* * @author 13651**/
public class Knapsack {/*** 存放物品重量的数组*/private int[] w;/*** 存放物品价值的数组*/private int[] v;/*** 存放物品的数组*/private String[] goods;/*** 存放物品种类数量*/private int goodsNum;/*** 存放背包问题的填表*/private int[][] table;/*** 记录table表的每一项对应的物品(放入背包的物品的组合)情况*/private int[][] info;/*** 构造器* @param goods 物品数组* @param w 物品重量的数组* @param v 物品价值的数组* @param capacity 背包的容量*/public Knapsack