不可导的几种情况

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函数在某点不可导的几种典型情况

在数学分析中，一个函数在某点不可导，通常会出现以下几种情形：

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一、角点（Corner）

• 特点：函数在该点的左右导数都存在，但不相等。

• 示例：
  $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处不可导。

  • 左导数：$f_{-}^{\prime }(0)=-1$
  • 右导数：$f_{+}^{\prime }(0)=1$

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二、尖点（Cusp）

• 特点：函数在该点左右导数趋于无穷大，且符号相反。

• 示例：
  $f(x)=x^{2/3}$ 在 $x=0$ 处不可导。

  • 左导数趋向于 $-\infty$
  • 右导数趋向于 $+\infty$

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三、垂直切线（Vertical Tangent）

• 特点：函数在该点左右导数都趋向于正无穷或负无穷。

• 示例：
  $f(x)=\sqrt[3]{x}$ 在 $x=0$ 处不可导。

  • 导数趋向于无穷大（竖直方向切线）
  • 左导数趋向于 $+\infty$
  • 右导数趋向于 $+\infty$

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四、间断点（Discontinuity）

• 特点：函数在该点不连续 ⇒ 一定不可导。

• 示例：

  $$f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1,& x\ge 0\\ x-1,& x<0\end{array}$$

  在 $x=0$ 处存在跳跃不连续，因此不可导。

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五、振荡不连续（Oscillating Discontinuity）

• 特点：函数在该点无限振荡，导数也不存在。

• 示例：
  $f(x)=x\sin (1/x)$，定义 $f(0)=0$

  • 在 $x\to 0$ 附近，函数剧烈振荡，无法取极限，因此在 $x=0$ 不可导。

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六、无限不连续（Infinite Discontinuity）

• 特点：函数在该点函数值趋于无穷 ⇒ 不可导。
• 示例：
  $f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处没有定义，趋于无穷，因此不可导。

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七、其他奇异点（如 Weierstrass 函数）

• 特点：函数连续但处处不可导。

• 示例：
  Weierstrass 函数：

  $$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}^n\cos (b^n\pi x)$$

  • 其中 $0<a<1$，$b$ 为奇整数，且满足 $ab>1+\frac{3\pi }{2}$
  • 此函数在所有实数点连续，但在任意一点都不可导。

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总结

函数在某点不可导常见于以下几种情况：

• ✅ 角点：左右导数存在但不相等
• ✅ 尖点：导数趋向于异号无穷
• ✅ 垂直切线：导数趋向于正或负无穷
• ✅ 不连续点：包括跳跃、振荡、不定义
• ✅ 奇异连续函数：如 Weierstrass 函数，处处连续却处处不可导

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