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【LeetCode 热题 100】1143. 最长公共子序列——（解法二）递推

backend 2025/9/3 17:27:41

Problem: 1143. 最长公共子序列

文章目录

整体思路
完整代码
时空复杂度
- 时间复杂度：O(m * n)
- 空间复杂度：O(m * n)

整体思路

这段代码同样旨在解决 “最长公共子序列” (LCS) 问题，但它采用的是一种 自底向上（Bottom-Up）的动态规划 方法，也称为 迭代法 或 制表法 (Tabulation)。这种方法通过构建一个DP表（dp 二维数组），从最小的子问题开始，逐步计算出最终的解，避免了递归的开销。

该实现是解决LCS问题的标准教科书式DP模型。

状态定义与索引映射
- 算法定义了一个二维DP数组 dp，大小为 (m+1) x (n+1)。
- dp[i][j] 的含义是：text1 的前 i 个字符（text1.substring(0, i)）与 text2 的前 j 个字符（text2.substring(0, j)）的最长公共子序列的长度。
- 这是一个常见的索引偏移技巧。dp 数组的索引 i 和 j 分别对应了 text1 和 text2 的长度，而字符串的索引是 i-1 和 j-1。这样做的好处是，dp 数组的第0行和第0列可以天然地代表空字符串的情况，简化了边界处理。
基础情况 (Base Case)
- 在Java中，new int[m + 1][n + 1] 数组的所有元素默认初始化为0。
- dp[0][j] 和 dp[i][0] 始终为0。这恰好满足我们的基础情况：任何字符串与一个空字符串的最长公共子序列长度都为0。
状态转移 (State Transition)
- 算法使用两层嵌套循环来填充DP表。i 和 j 在循环中对应的是字符串的索引。
- 在循环的每一步，计算 dp[i+1][j+1] 的值，它代表 text1[0...i] 和 text2[0...j] 的LCS长度。
- 状态转移逻辑基于对 text1.charAt(i) 和 text2.charAt(j) 的比较：
  a. 如果 text1.charAt(i) == text2.charAt(j)：
  - 这意味着这两个相同的字符可以被包含在LCS中。
  - 因此，当前LCS的长度等于 text1[0...i-1] 和 text2[0...j-1] 的LCS长度再加1。
  - 状态转移方程为：dp[i + 1][j + 1] = dp[i][j] + 1。
    b. 如果 text1.charAt(i) != text2.charAt(j)：
  - 这意味着这两个不同的字符不可能同时被包含在LCS中。
  - LCS的长度取决于两种可能中较长的那一个：
    1. text1[0...i-1] 和 text2[0...j] 的LCS，其长度为 dp[i][j+1]。
    2. text1[0...i] 和 text2[0...j-1] 的LCS，其长度为 dp[i+1][j]。
  - 状态转移方程为：dp[i + 1][j + 1] = Math.max(dp[i][j + 1], dp[i + 1][j])。
返回结果
- 当所有循环结束后，dp 数组已经完全填充。我们需要的最终答案，即 text1 和 text2 整个字符串的LCS长度，就存储在 dp[m][n] 中。

完整代码

class Solution {/*** 计算两个字符串的最长公共子序列的长度。* @param text1 第一个字符串* @param text2 第二个字符串* @return 最长公共子序列的长度*/public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {int m = text1.length();int n = text2.length();// dp[i][j]: 表示 text1 的前 i 个字符与 text2 的前 j 个字符的 LCS 长度。// 使用 m+1, n+1 的大小是为了用第0行和第0列代表空字符串，简化边界处理。int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];// i 和 j 是 text1 和 text2 的 0-based 索引for (int i = 0; i < m; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {// 如果当前比较的两个字符相同if (text1.charAt(i) == text2.charAt(j)) {// LCS 长度等于它们各自去掉末尾字符后的 LCS 长度 + 1。dp[i + 1][j + 1] = dp[i][j] + 1;} else {// 如果字符不同，LCS 长度等于两种情况中的较大值：// 1. text1 去掉末尾 vs text2 (dp[i][j+1])// 2. text1 vs text2 去掉末尾 (dp[i+1][j])dp[i + 1][j + 1] = Math.max(dp[i][j + 1], dp[i + 1][j]);}}}// 最终答案存储在 dp[m][n] 中，代表整个 text1 和 text2 的 LCS 长度。return dp[m][n];}
}

时空复杂度

时间复杂度：O(m * n)

m 是 text1 的长度，n 是 text2 的长度。

循环结构：算法使用了两层嵌套的 for 循环。
- 外层循环从 i = 0 运行到 m-1，执行 m 次。
- 内层循环从 j = 0 运行到 n-1，执行 n 次。
计算依据：
- 总的操作次数（主要是比较、加法和Math.max）是内外层循环次数的乘积，即 m * n。