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第六章二次型

backend 2025/8/27 23:09:24

专题一二次型与标准型

二次型的定义

含有 $n$ 个变量 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ 的二次齐次多项式 $f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=a_{11}x_{1}^{2}+a_{22}x_{2}^{2}+\cdots$ $+a_{nn}x_{n}^{2}+2a_{12}x_{1}x_{2}+2a_{13}x_{1}x_{3}+\cdots +2a_{1n}x_{1}x_{n}+\cdots +2a_{n - 1,n}x_{n - 1}x_{n}$

例如： $f(x_{1},x_{2},x_{3})=2x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+4x_{3}^{2}-2x_1x_2+4x_2x_3,A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\ -1 & 3 & 2\\ 0& 2 & 4 \end{pmatrix}$

称为 $n$ 元二次型，记作 $f = x^{T}Ax$ ，其中 $x=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})^{T}$ ，

$A=(a_{ij})$ 为实对称矩阵，称 $A$ 为二次型的矩阵，称 $A$ 的秩为二次型的秩，记作 $r(f)$ 。

【评注】二次型与实对称矩阵一一对应，二次型的矩阵 $A$ 的主对角线元素为平方项的系数，其余元素 $a_{ji}=a_{ij}$ 为交叉项 $x_{ij}$ 系数的一半。

标准形的定义

只含平方项的二次型，即 $f = d_1y_1^2 + d_2y_2^2 + \cdots + d_ny_n^2$ ，称为二次型的标准形。

正负惯性指数的定义

标准形中系数为正的个数称为二次型的正惯性指数，记作 $p$ ，系数为负的个数称为二次型的负惯性指数，记作 $q$ 。

规范形的定义

若标准形的系数为 $1$ ， $-1$ 或 $0$ ，即 $f = y_1^2 + y_2^2 + \cdots + y_p^2 - y_{p + 1}^2 - \cdots - y_{p + q}^2$ ，称为二次型的规范形。

可逆线性变换的定义

关系式

$\begin{cases} x_1 = c_{11}y_1 + c_{12}y_2 + \cdots + c_{1n}y_n \\ x_2 = c_{21}y_1 + c_{22}y_2 + \cdots + c_{2n}y_n \\ \cdots\ \cdots\ \cdots \\ x_n = c_{n1}y_1 + c_{n2}y_2 + \cdots + c_{nn}y_n \end{cases}$

即 $x = Cy$ ，其中

$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$ ， $y = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}$ ， $C = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \end{pmatrix}$

称为由变量 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 到 $y_1, y_2, \cdots, y_n$ 的线性变换。

若 $C$ 为可逆矩阵，则称 $x = Cy$ 为可逆线性变换。

标准形的求法

（一）拉格朗日配方法（以三元二次型为例）

（1）若二次型含有平方项

不妨设含有 $x_1^2$ ，先将含有 $x_1$ 的项配方，再将含有 $x_2$ 的项配方，换元得标准形 $f = d_1y_1^2 + d_2y_2^2 + \cdots + d_ny_n^2$ 及所用的可逆线性变换 $x = Cy$ ；

$x_1$ 先配干净， $x_2$ 再配干净

（2）若二次型不含平方项

不妨设含有 $x_1x_2$ ，令

$\begin{cases} x_1 = y_1 + y_2 \\ x_2 = y_1 - y_2 \\ x_3 = y_3 \end{cases}$ ，

则二次型化为（1）的形式。

（二）正交变换法

（1）求二次型的矩阵 $A$ 的 $n$ 个特征值 $\lambda_1, \cdots, \lambda_n$ ；

（2）求 $A$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ ；

（3）将不同特征值的特征向量分别 Schmidt 正交化，得 $\gamma_1, \cdots, \gamma_n$ ，得到正交矩阵 $Q = (\gamma_1, \cdots, \gamma_n)$ 。

经过正交变换 $x = Qy$ ，二次型化为标准形 $f = \lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2 + \cdots + \lambda_ny_n^2$ 。

证明： $f=x^TAx$ ，令 $x=Qy$ ，

$(Qy)^TA(Qy)=y^TQ^TAQy=y^T\Lambda y$

$=\begin{pmatrix} y_1 & \cdots &y_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \lambda _1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda _n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y_1\\ \vdots\\ y_n \end{pmatrix}$