每日学习一道数模题-2024国赛D题-反潜航空深弹命中概率问题

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摘要
本文围绕海峡或浅海区域反潜作战中深水炸弹（深弹）攻击潜艇的问题展开研究，在考虑潜艇位置定位误差及深弹双引信引爆机制的基础上，构建了不同情形下的投弹命中概率模型，并采用相应算法进行求解，旨在确定最优投弹方案以提高命中概率。
针对问题一，该问题聚焦于在潜艇深度定位无误差，仅水平坐标定位存在误差且服从正态分布的情况下，分析投弹最大命中概率与投弹落点平面坐标及定深引信引爆深度的关系。解题思路是先利用正态分布对称性确定最优平面落点为原点，再对命中条件进行数学分解为触发引信、定深引信（落点内）、定深引信（落点外）三种情形，分别计算各情形概率。模型建立时，假设潜艇为长方体，明确各坐标分布及深弹特性等，通过基于对称性的解析优化方法确定最优落点，运用高斯积分计算命中概率。求解步骤为依次确定最优平面落点、分析命中概率三种情形、计算总命中概率及最大命中概率，最终得出最优投弹方案为平面落点0, 0，定深引信引爆深度z_d > 137.5m，最大命中概率约为2.15%。
针对问题二，此问题考虑潜艇中心位置各方向均有定位误差，其中深度服从单边截尾正态分布，水平坐标服从正态分布。解题思路是先考虑潜艇几何参数随机性，扩展命中条件，得出命中概率的积分表达式，再通过蒙特卡洛模拟对定深z_d进行数值优化。模型建立时，假设深弹落点平面坐标为原点，潜艇为长方体，各随机变量相互独立，明确其分布及深弹杀伤半径等。采用自适应分层蒙特卡洛积分与贝叶斯优化相结合的算法，将Z的截尾分布分层采样，构建高斯过程代理模型搜索最优定深。求解步骤包括初始化、通过自适应分层蒙特卡洛积分计算命中概率、利用贝叶斯优化选择下一个z_d值并迭代更新，最终输出最优定深引信引爆深度及最大投弹命中概率。
针对问题三，该问题研究多枚深弹协同攻击的投弹方案设计，目标是使“至少一枚深弹命中潜艇”的概率最大。解题思路是先明确多枚深弹命中概率关系，分析单枚深弹命中概率需考虑潜艇三维随机误差，多弹阵列平面间隔要覆盖潜艇水平误差高概率区域，定深引信引爆深度需平衡两种引信贡献。模型建立时，假设深弹落点呈特定矩形阵列分布，潜艇位置与深弹落点独立，命中事件近似独立。采用基于克立格代理模型的多目标差分进化算法，通过拉丁超立方采样生成样本，蒙特卡洛积分估计单枚深弹命中概率，训练克立格模型，多目标差分进化算法以相关参数为变量、总命中概率为适应度函数搜索最优解。求解步骤包括生成初始样本、蒙特卡洛积分估计P_k、计算P_总、克立格模型训练、初始化差分进化种群，经变异、交叉、选择操作并判断终止条件后，输出优化后的定深引信引爆深度、平面间隔和最大命中概率估计值。
最后，对所建立的模型进行评价。模型针对不同定位误差情形给出了相应的投弹方案及命中概率计算方法，具有一定的理论指导意义。然而，模型对海洋环境等复杂因素进行了简化，在实际应用中需进一步考虑这些因素以提高模型的准确性。同时，模型在类似的水下目标打击场景中具有一定的推广价值，可通过调整参数适应不同的作战条件。
关键词：反潜作战；深水炸弹；命中概率；正态分布；蒙特卡洛模拟