求解偏微分方程组的通解
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方程组：
{ u x x = 0 , u y = 0. \begin{cases} u_{xx} = 0, \\ u_y = 0. \end{cases} {uxx=0,uy=0.
解：首先解 u x x = 0 u_{xx} = 0 uxx=0，得到 u = C 1 ( y ) x + C 2 ( y ) u = C_1(y) x + C_2(y) u=C1(y)x+C2(y)。代入 u y = 0 u_y = 0 uy=0 得 C 1 ′ ( y ) x + C 2 ′ ( y ) = 0 C_1'(y) x + C_2'(y) = 0 C1′(y)x+C2′(y)=0，因此 C 1 ( y ) C_1(y) C1(y) 和 C 2 ( y ) C_2(y) C2(y) 必须为常数。解为：
u ( x , y ) = C 1 x + C 2 \mathbf{u(x, y) = C_1 x + C_2} u(x,y)=C1x+C2
其中 C 1 C_1 C1 和 C 2 C_2 C2 为常数。 -
方程组：
{ u x y = 0 ,