【高等数学】（2）函数

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1. 函数的定义

设数集$D\in R$
称映射$f:D\to R$为定义在$D$上的函数，记作$$y=f(x),x\in D,$$其中$x$称为自变量，$y$称为因变量，$D$称为定义域，记作$D_f$，即$D_f=D$

在函数的定义中，对每个$x\in D$，按对应法则$f$，总有唯一确定的值$y$与之对应，这个值称为函数$f$在$x$上的函数值。因变量$y$与自变量$x$之间的这种依赖关系，通常称为函数关系。函数值$f(x)$的全体所构成的集合称为函数$f$的值域，记作$R_f$或$f(D)$，即 R f = f ( D ) = { y ∣ y = f ( x ) , x ∈ D } . R_f=f(D)=\{y|y=f(x),x\in D\}. Rf​=f(D)={y∣y=f(x),x∈D}.

• 函数的记号
  可以任意选取，除了常用的$f$外，还可用其他的英文字母或希腊字母；有时还直接用因变量的记号来表示函数，即$y=y(x)$；在同一问题中，讨论到几个不同的函数时，为了表示区别，需要用不同的记号来表示它们
• 函数构成要素——定义域和对应法则
• 函数的定义域
  • 对于有实际背景的函数，根据实际背景中变量的实际意义确定
  • 对于抽象地用算式表达的函数，通常约定这种函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合，这种定义域称为自然定义域
• 函数的表示方法
  • 表格法
  • 图形法
    坐标平面的点集 { P ( x , y ) ∣ y = f ( x ) , x ∈ D } \{P(x,y)|y=f(x),x\in D\} {P(x,y)∣y=f(x),x∈D}称为函数$y=f(x),x\in D$的图形
  • 解析法

2. 函数的性质

• 有界性
  设函数$f(x)$的定义域为$D$，数集$X\subset D$
  如果存在$K_1$，使得$f(x)\le K_1$对任一$x\in X$都成立
  那么称函数$f(x)$在$X$上有上界，$K_1$称为函数$f(x)$在$X$上的一个上界；
  如果存在$K_2$，使得$f(x)\ge K_2$对任一$x\in X$都成立
  那么称函数$f(x)$在$X$上有下界，$K_2$称为函数$f(x)$在$X$上的一个下界
  设函数$f(x)$的定义域为$D$，数集$X\subset D$
  如果存在正数$M$，使得$|f(x)|\le M$对任一$x\in X$都成立
  那么称函数$f(x)$在$X$上有界；
  如果这样的$M$不存在，就称函数$f(x)$在$X$上无界
  • 函数$f(x)$在$X$上有界的充分必要条件是它在$X$上既有上界又有下界
• 单调性
  设函数$f(x)$的定义域为$D$，区间$I\subset D$
  如果对于区间$I$上任意两点$x_1,x_2$，当$x_1<x_2$时，恒有$f(x_1)<f(x_2)$
  那么称函数$f(x)$在区间$I$上是单调增加的；
  如果对于区间$I$上任意两点$x_1,x_2$，当$x_1<x_2$时，恒有$f(x_1)>f(x_2)$
  那么称函数$f(x)$在区间$I$上是单调减少的
  单调增加和单调减少函数统称为单调函数
• 奇偶性
  设函数$f(x)$的定义域$D$关于原点对称
  如果对于任一$x\in D$，$f(-x)=f(x)$恒成立
  那么称$f(x)$为偶函数；
  如果对于任一$x\in D$，$f(-x)=-f(x)$恒成立
  那么称$f(x)$为奇函数
  • 偶函数的图形关于$y$轴对称
  • 奇函数的图形关于原点对称
• 周期性
  设函数$f(x)$的定义域为$D$
  如果存在一个正数$l$，使得对于任一$x\in D$有$(x\pm l)\in D$，且$f(x+l)=f(x)$恒成立
  那么称$f(x)$为周期函数，$l$称为$f(x)$的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期
  • 并非每个周期函数都有最小正周期，例如狄利克雷(Dirichlet)函数$$D(x)=\{\begin{array}{l}1,x\in Q,\\ 0,x\in Q^c\end{array}$$任何正有理数都是它的周期，没有最小正周期

3. 函数的运算

• 反函数
  设函数$f:D\to f(D)$是单射，则它存在逆映射$f^{-1}:f(D)\to D$
  称此映射$f^{-1}$为函数$f$的反函数
  • 反函数$f^{-1}$的对应法则是完全由函数$f$的对应法则所确定的
  • 若$f$是定义在$D$上的单调函数，则$f$的反函数$f^{-1}$必定存在，且$f^{-1}$也是$f(D)$上的单调函数
  • 直接函数和反函数的图形关于直线$y=x$对称
• 复合函数
  设函数$y=f(u)$的定义域为$D_f$，函数$u=g(x)$的定义域为$D_g$，且其值域$R_g\subset D_f$
  则由下式确定的函数$$y=f[g(x)],x\in D_g$$称为由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$构成的复合函数，它的定义域为$D_g$，变量$u$称为中间变量
  • 函数$g$与函数$f$构成的复合函数，即按“先$g$后$f$”的次序复合的函数，通常记为$f\circ g$，即$$(f\circ g)(x)=f[g(x)]$$
  • 习惯上只要$R_g\bigcap D_f\ne \varnothing$就称为复合函数，此时的定义域就不一定是$D_g$

• 函数的四则运算
  设函数$f(x),g(x)$的定义域依次为$D_f,D_g,D=D_f\bigcap D_g\ne \varnothing$
  则可以定义这两个函数的下列运算：
  • 和（差）$f\pm g$
    $(f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x),x\in D$
  • 积$f\cdot g$
    $(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x),x\in D$
  • 商$\frac{f}{g}$
    ( f g ) ( x ) = f ( x ) g ( x ) , x ∈ D / { x ∣ g ( x ) = 0 , x ∈ D } (\dfrac{f}{g})(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)},x\in D/ \{x|g(x)=0,x\in D\} (gf​)(x)=g(x)f(x)​,x∈D/{x∣g(x)=0,x∈D}

4. 函数的分类

• 常值函数
  $$y=C$$

• 分段函数
  在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数，通常称为分段函数
  注意：分段函数是用几个式子表示一个函数
• 以下五类函数统称为基本初等函数：
  • 幂函数：$y=x^{\mu }$（$\mu \in R$是常数）
  • 指数函数：$y=a^x$（$a>0$且$a\ne 1$）
  • 对数函数：$y={\log }_{a}x$（$a>0$且$a\ne 1$，特别当$a=e$时，记为$y=\ln x$）
  • 三角函数：如$y=\sin x,y=\cos x,y=\tan x$等
  • 反三角函数：如$y=\arcsin x,y=\arccos x,y=\arctan x$等
• 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数