辅助角公式

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✅ 辅助角公式（无 $R$ 的简洁形式）

若要将表达式 $a\sin x+b\cos x$ 直接转换为单一的正弦或余弦函数，无需显式计算 $R=\sqrt{a^2+b^2}$，可以使用以下公式：

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🔹 1. 直接转换为正弦函数

$$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot \sin \left(x+\arctan \left(\frac{b}{a}\right)\right)$$

或更简洁地：

$$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot \sin (x+\alpha ),\text{其中}\tan \alpha =\frac{b}{a}$$

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🔹 2. 直接转换为余弦函数

$$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot \cos \left(x-\arctan \left(\frac{a}{b}\right)\right)$$

或更简洁地：

$$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot \cos (x-\alpha ),\text{其中}\tan \alpha =\frac{a}{b}$$

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📌 关键点说明

1. 无需单独计算 $R$：
   公式中直接以 $\sqrt{a^2+b^2}$ 作为振幅，无需额外步骤。

2. 辅助角 $\alpha$ 的确定：

   • 对正弦形式：$\alpha =\arctan \left(\frac{b}{a}\right)$
   • 对余弦形式：$\alpha =\arctan \left(\frac{a}{b}\right)$
     ⚠️ 注意象限，需根据 $a,b$ 的符号调整 $\alpha$ 的具体值。

3. 选择正弦或余弦形式：
   根据问题需求选择更简便的形式（例如，若原式接近余弦形式，优先用余弦转换）。

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✏️ 示例

示例 1：将 $3\sin x+4\cos x$ 表示为单一正弦函数

直接套用公式：

$$3\sin x+4\cos x=\sqrt{3^2+4^2}\cdot \sin \left(x+\arctan \left(\frac{4}{3}\right)\right)=5\sin \left(x+\arctan \left(\frac{4}{3}\right)\right)$$

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示例 2：将 $\sin x-\sqrt{3}\cos x$ 表示为单一余弦函数

直接套用公式：

$$\sin x-\sqrt{3}\cos x=\sqrt{1^2+(-\sqrt{3}{)}^2}\cdot \cos \left(x-\arctan \left(\frac{1}{-\sqrt{3}}\right)\right)=2\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$$

（因为 $\arctan \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{\pi }{6}$，负号被余弦形式吸收）

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❓ 为什么可以省略 $R$ 的显式计算？

公式中的 $\sqrt{a^2+b^2}$ 已经隐含了 $R$ 的计算，因此无需单独写出 $R$。
直接利用以下恒等式即可：

$$a\sin x+b\cos x\equiv \sqrt{a^2+b^2}\cdot \sin (x+\alpha ),\tan \alpha =\frac{b}{a}$$

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✅ 总结

若只需快速转换，直接使用以下公式：

$$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot \sin \left(x+\arctan \frac{b}{a}\right)$$

或：

$$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot \cos \left(x-\arctan \frac{a}{b}\right)$$

无需分步计算 $R$ 和 $\alpha$，一步到位完成转换。

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