直线参数方程何时必须化为标准形式 |新高考已删

前言

在求解直线与圆相交得到的弦的长度问题时，可以采用的思路很多：

①利用几何方法，即利用弦心距、半弦长、半径组成的$Rt△$来求解决；

②弦长公式，即$|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot |x_1-x_2|$来求解；

③利用直线的参数方程的参数的几何意义来求解；

思路引申

当涉及到的是直线和圆时，此时思路①最简单快捷；但是从思路可移植的角度来思考[比如问题变化为直线和圆锥曲线相交得到的弦长问题]，思路③应该是最值得掌握的思路，此时思路①已经不能用了，思路②的运算量往往比较大，容易出错；

但思路③有个问题，在使用直线的参数方程时，必须要检验其是参数方程的标准形式，否则结果往往会出错；在此有两个问题：其一，为什么使用直线的参数方程的几何意义求弦长问题简单？其二，为什么必须将直线的参数方程的非标准形式转化为标准形式？

问题解析

预备知识：

• 借助一维数轴来理解$t$的几何意义

我们知道，一维数轴上的点和实数是一一对应的，如图所示，水平放置的数轴，其上的点$A$、$O$、$B$、$C$、$D$分别代表实数$-2$，$0$，$1$，$2$，$3$；动点对应的实数标记为$t$，那么$t=2$就对应点$C$，$t=-2$就对应点$A$，$t=0$就对应点$O$，$t=1$就对应点$B$，当变量$t$取遍所有的实数，那么动点就能代表数轴上所有的实数。这时候实数$t$就是数轴上的动点的一维坐标。

作用：此时若求线段的长度，则线段$AB=|t_A-t_B|=|-2-1|=3$;线段$BD=$$|t_B-t_D|$$=|1-3|$$=2$;

接下来，我们利用如下的参数方程[已经是标准形式]来求线段长或弦长；

在平面直角坐标系$xOy$中，直线$l$的参数方程为$\{\begin{array}{l}x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t\\ y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t\end{array}$($t$为参数)，

问题1：为什么使用直线的参数方程的几何意义求弦长问题简单？

当$t_0=0$时，其对于点$P_0(2，1)$；当$t_1=1$时，其对于点$P_1(2+\frac{\sqrt{2}}{2}，1+\frac{\sqrt{2}}{2})$；

此时求线段$|P_0{P}_1|$的长度，可以用如下的两个思路来求解：

思路①：$|P_0{P}_1|=\sqrt{(2+\frac{\sqrt{2}}{2}-2{)}^2+(1+\frac{\sqrt{2}}{2}-1{)}^2}=\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^2+(\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^2}=1$；

思路②：$|P_0{P}_1|=|t_0-t_1|=|0-1|=1$；

很显然，思路②的运算简单的多，只是好些同学不懂得为什么要这样计算？

很显然，思路 ① 采用的是两个点的二维坐标来运算，而思路 ② 是利用两个点的一维坐标来计算，如上图所示，点$P_0$类似于数轴中的原点，那么点$P_1$是数轴右方的第一个单位点，点$P_2$是数轴右方的第二个单位点，故$|P_0{P}_1|$的长应该是一个单位。故利用一维坐标肯定比二维坐标计算量要小。

问题2：为什么必须将直线的参数方程的非标准形式转化为标准形式？

预备知识：在平面直角坐标系$xoy$中，直线$l$的参数方程为$\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1+2t\end{array}$($t$为参数)，

如上图所示，当$t_0=0$时，对应上图中的点$A(2,1)$，当$t_1=1$时，对应上图中的点$B(3,3)$，

此时$|AB|=\sqrt{(2-3{)}^2+(1-3{)}^2}=\sqrt{5}$；其长度不是一个单位长，故其不是参数方程的标准形式，

在教学实践中，我们常用参数$t$前面的两个系数的平方和是否等于$1$来判断是否为标准形式；

如上，$1^2+2^2=5\ne 1$，故上述的参数方程不是标准形式。

如果直线的参数方程不是标准形式，则其参数$t$的几何意义就不是动点到定点的有向线段的数量，类似于我们不用标准的米尺测量人的身高，则测量的身高数据一定是不准确的；故使用前必须保证其为标准形式；

那么，如何将参数方程的非标准形式转化为标准形式呢，请参照下述例题中的具体解法来体会。

• 非标准形式化为标准形式的思路

$\{\begin{array}{l}x=\end{array}$