两条平面直线之间通过三次多项式曲线进行过渡的方法介绍

在工程设计、道路规划或机器人路径规划中，常需要使用一条光滑的曲线（如三次多项式曲线）来平滑连接两条平面直线。以下介绍一种常见的方法，实现两条直线之间的 G¹连续（即位置和切线方向连续）的三次多项式过渡。

一、问题描述

设有两条平面直线：

• 直线1：起点为 (x₀, y₀)，方向向量为 (dx₁, dy₁)
• 直线2：终点为 (x₃, y₃)，方向向量为 (dx₂, dy₂)

我们希望设计一条三次多项式参数曲线，在起点处与直线1相切，在终点处与直线2相切，实现平滑过渡。

二、参数化三次多项式曲线

采用参数形式表示过渡曲线：

x(t) = aₓ + bₓt + cₓt² + dₓt³
y(t) = aᵧ + bᵧt + cᵧt² + dᵧt³

其中，参数 t ∈ [0, 1]，t = 0 对应起点，t = 1 对应终点。

三、边界条件（G¹ 连续）

为保证平滑连接，设定以下四个边界条件：

1. 起点位置匹配直线1：
   x(0) = x₀
   y(0) = y₀

2. 终点位置匹配直线2：
   x(1) = x₃
   y(1) = y₃

3. 起点切线方向与直线1一致：
   x′(0) = k₁·dx₁
   y′(0) = k₁·dy₁
   （k₁ 为比例系数，控制起点切线长度）

4. 终点切线方向与直线2一致：
   x′(1) = k₂·dx₂
   y′(1) = k₂·dy₂
   （k₂ 为比例系数，控制终点切线长度）

四、求解系数

对参数曲线求导：

x′(t) = bₓ + 2cₓt + 3dₓt²
y′(t) = bᵧ + 2cᵧt + 3dᵧt²

代入边界条件，解得：

x方向系数：

aₓ = x₀
bₓ = k₁·dx₁
cₓ = 3(x₃ - x₀) - 2k₁·dx₁ - k₂·dx₂
dₓ = -2(x₃ - x₀) + k₁·dx₁ + k₂·dx₂

y方向系数：

aᵧ = y₀
bᵧ = k₁·dy₁
cᵧ = 3(y₃ - y₀) - 2k₁·dy₁ - k₂·dy₂
dᵧ = -2(y₃ - y₀) + k₁·dy₁ + k₂·dy₂

五、使用说明

1. 参数 k₁ 和 k₂ 可根据过渡长度和曲率要求调整，通常取正值。
2. 若两条直线平行，可简化为对称过渡。
3. 曲线整体光滑，适用于路径规划、CAD建模等场景。