2025年数学建模国赛参考论文发布

碳化硅外延层厚度的确定

碳化硅作为一种新兴的第三代半导体材料，以其优越的综合性能表现正在受到越来越多的关注。碳化硅外延层的厚度是外延材料的关键参数之一，对器件性能有重要影响。因此，制定一套科学、准确、可靠的碳化硅外延层厚度测试标准显得尤为重要。

针对问题1，建立了动态折射率干涉模型，克服了传统固定折射率模型的局限性。通过耦合Sellmeier色散公式与Drude载流子效应，精确描述了折射率随波长和载流子浓度的变化关系。基于单次反射-透射干涉理论，修正了光程差、相位差和反射率公式，推导出适用于变折射率情形的厚度解析表达式。采用非线性最小二乘拟合算法，实现了从反射光谱中高精度提取厚度参数，为宽光谱干涉测量提供了可靠理论基础。

针对问题2，发展了增强型傅里叶变换厚度分析算法，结合汉宁窗函数和零填充技术，有效抑制频谱泄漏并提高频率分辨率。引入多波段分析策略，在不同红外波段分别计算折射率和厚度，显著提升测量的稳健性和准确性。通过动态折射率修正和功率谱密度分析，精确识别干涉主频，并采用加权平均融合多波段结果，最终给出厚度估计及其不确定度，系统提高了碳化硅外延层的测厚可靠性。

针对问题3，建立了多光束干涉检测与分析的完整框架，基于Fabry–Pérot理论推导了多光束干涉的反射率公式和判断条件。提出多参数联合判据，包括反射率、精细度、对比度和干涉峰数量，用于识别强/弱多光束干涉效应。开发了多方法融合厚度计算算法，结合峰对分析、包络函数拟合和动态折射率校正，有效消除了多次反射带来的系统性误差，显著提升了复杂干涉情形下的厚度测量精度与稳健性。

关键词：碳化硅外延层、厚度测量、傅里叶变换红外光谱、动态折射率、多光束干涉、光谱分析

摘要

无创产前检测（NIPT）通过分析孕妇血浆中胎儿游离DNA来筛查染色体异常，其准确性很大程度上依赖于胎儿Y染色体浓度的达标情况。本研究旨在建立Y染色体浓度与孕妇生理指标的关系模型，优化不同BMI分组的最佳检测时点，并构建女胎异常判定方法。

数据处理方面，对Y染色体浓度进行Arcsine Square Root变换以符合正态分布假设，采用严格的数据清洗策略去除异常值和缺失值，并对连续变量进行标准化处理。针对类别不平衡问题，采用代价敏感学习和SMOTE过采样技术进行处理。

问题一分析了Y染色体浓度与孕周、BMI等指标的相关特性。通过15个BMI细分组，分别拟合15种数学模型（线性、二次多项式、指数、对数、幂函数、Sigmoid等），采用R²、RMSE、AIC、BIC等指标进行模型选择。结果显示三次多项式和混合指数模型在多数分组中表现最优，孕周与Y染色体浓度呈显著正相关（p<0.001），BMI与浓度呈负相关关系。

问题二建立了BMI分组和最佳检测时点的优化模型。以最小化加权平均最早达标时间为目标函数，约束条件包括每组最小样本量、80%达标概率阈值和10-25周检测窗口。采用粒子群优化算法求解得到5个最优BMI分组区间，各组推荐检测时点在11.2-14.8周之间，低BMI组需要更晚的检测时间。敏感性分析表明检测误差每增加50%，达标概率平均下降12%。

问题三扩展为五变量综合优化模型，同时考虑年龄、身高、体重、BMI、孕周对Y染色体浓度的影响。采用五变量二次多项式模型（14个参数）进行拟合，结合约束优化求解最佳分组和检测时点。结果显示综合模型的拟合精度比单纯BMI模型提高15%，各组检测时点相比问题二有0.5-1.2周的调整，体现了多因素综合考虑的优势。

问题四构建了女胎异常判定分类模型。首先通过Spearman相关分析从13个候选指标中筛选出BMI、孕周、重复率、原始读段数、体重等5个关键指标。比较了逻辑回归、支持向量机、决策树、随机森林、朴素贝叶斯、集成学习6种分类算法，随机森林模型表现最优（AUC=0.856）。通过ROC分析确定最优判定阈值为0.347，在该阈值下敏感性为82.3%，特异性为78.9%。

本研究建立了从单因素到多因素、从回归到分类的完整NIPT优化分析框架，创新性地将约束优化理论应用于临床检测时点确定，首次提出了基于多指标综合评分的女胎异常判定方法。研究成果为个性化NIPT检测方案制定提供了科学依据，具有重要的临床应用价值。

关键词：无创产前检测；Y染色体浓度；检测时点优化；异常判定；非线性回归模型

摘要

无创产前检测（NIPT）是一种通过分析孕妇血液中胎儿游离DNA片段来评估胎儿染色体异常的关键技术，旨在早期发现唐氏综合征等健康风险，降低治疗窗口期缩短带来的潜在危害。本研究基于高BMI孕妇数据，聚焦胎儿Y染色体浓度与孕妇指标的相关性分析，合理分组孕妇以确定最佳NIPT检测时点，并建立女胎异常判定方法，从而最小化风险并提升检测准确性。在数据处理阶段，首先对附件数据进行了预处理：剔除不必要变量（如重复读段比例），并对非数值型类别变量（如IVF妊娠方式）进行独热编码处理，将其转化为数值型变量；随后，计算胎儿Y染色体浓度与孕周数、BMI等特征的斯皮尔曼相关系数，绘制热力图可视化相关关系，并通过p值检验（显著性水平α=0.05）验证相关系数的统计显著性，为后续建模奠定基础。

针对问题一，即分析胎儿Y染色体浓度与孕周数、BMI等指标的相关特性并建立关系模型，我们采用线性和非线性拟合方法（如多元线性回归和多项式回归），输入预处理数据求解变量系数，并基于相关系数检验模型显著性；结果显示，Y染色体浓度与孕周数呈正相关、与BMI呈负相关，模型通过p值检验（p<0.05），R²值达0.54以上，证实了指标的强相关性。

对于问题二，即通过BMI分组确定男胎最佳NIPT时点以最小化风险，我们使用K-means聚类算法和决策树算法对BMI进行分组（聚类数k依据碎石图确定），定义Y染色体浓度≥4%为“达标”，以90的孕妇能够达标的时间周作为最佳的NIPT点。最终我们得到了详细的BMI分组，并对风险进行了评估。

在问题三中，需综合考虑身高、体重、年龄、检测误差及Y染色体达标比例等因素分组BMI并优化时点，我们同样应用K-means聚类算法和决策树算法进行多特征分组（输入身高、体重等10几个变量），分组后计算第90百分位数孕周作为最佳时点；定义Y染色体浓度≥4%为“达标”，以90的孕妇能够达标的时间周作为最佳的NIPT点。最终我们得到了详细的BMI分组，并对风险进行了评估。

针对问题四，即女胎异常判定，我们将AB列（13号、18号、21号染色体非整倍体）作为标签（空白表示正常，非空白异常），采用决策树模型训练，输入X染色体Z值、GC含量、读段数比例及BMI等特征；模型准确率超67%，正常样本精确率超过90%，AUC值0.56，并结合决策树可视化等操作，输出判定规则便于临床应用。

本研究系统优化了NIPT时点选择与胎儿异常判定，显著降低了孕妇潜在风险；创新点在于引入百分位数法（第90百分位数）动态确定最佳时点，确保早期检测窗口最大化，并采用可解释机器学习模型——决策树模型，增强临床可操作性；特色是综合考虑多模型的对比，提升了模型鲁棒性和实用性。

关键词：NIPT检测；胎儿染色体异常；聚类分析；决策树；K-means；百分位数法

基于AI姿态识别的立定跳远运动分析与个性化训练优化研究

随着《国家学生体质健康标准》的颁布实施，通过AI技术辅助体育运动分析已成为提升学生体质健康水平的重要手段。本研究针对立定跳远运动，建立基于人体姿态识别的运动分析与成绩预测模型，旨在科学评估运动表现并制定个性化训练方案。

针对33个关键节点的逐帧位置坐标数据，采用5帧滑动窗口平滑处理降低姿态估计噪声，通过质心计算、速度分析和多指标综合评分等方法进行数据预处理，为后续建模奠定可靠的数据基础。

问题一采用多指标综合评分法识别起跳和落地时刻，通过横向位移、垂直高度增益、足部离地高度等指标构建综合评分函数，成功检测出运动者1和运动者2的起跳落地时刻，并基于运动学参数分析描述了滞空阶段的三维运动轨迹特征。

问题二构建多层次影响因素分析框架，结合体质测量数据和运动学参数，通过相关性分析识别关键影响因素。研究发现基础代谢率(r=0.860)、体重(r=0.813)、骨骼肌重量(r=0.797)等体质因素对成绩影响最为显著，技术纠正可实现平均7.4%的成绩提升，且存在明显的个体差异性。

问题三基于梯度提升回归树构建成绩预测模型，采用留一交叉验证策略评估模型性能。通过特征工程创建飞行角度积、爆发力体重比等交互特征，模型解释了88.1%的成绩变异，预测运动员11的立定跳远成绩为1.546米，置信区间为[1.446, 1.646]米。

问题四采用参照学习方法，以运动员9的训练模式为基准，结合6岁儿童的生理发育特点构建个性化训练方案。通过约束优化模型制定6周分阶段训练计划，预测经训练后运动员11成绩可提升至1.821米，改进幅度达17.8%，体现了科学训练对儿童运动能力发展的显著促进作用。

本研究创新性地将AI姿态识别、运动生物力学和机器学习相结合，建立了从动作分析到成绩预测再到训练指导的完整技术链条，为智能体测和个性化运动训练提供了科学的理论基础和实用的技术方案，具有重要的应用价值和推广前景。

关键词：立定跳远分析；姿态识别；梯度提升回归；运动生物力学；智能体测