差角函数差角矩阵位置编码

记忆小技巧（“正弦同号、余弦异号”）

1. 正弦加法公式
   sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
2. 余弦加法公式
   cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
3. 差角形式（把 β 换成 −β 即可得到）
   sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
   cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ

矩阵

证明旋转矩阵
一、二维平面：把“旋转”翻译成“线性变换”
问题描述
把平面上任意一点 P(x, y) 绕原点逆时针旋转角度 θ，得到新点 P′(x′, y′)。
我们要找 2×2 矩阵 R，使得

[x′, y′]ᵀ = R [x, y]ᵀ。

先把点写成极坐标

x = r cosφ, y = r sinφ.

旋转 θ 后，极角从 φ → φ+θ，而半径 r 不变。
故

x′ = r cos(φ+θ)
y′ = r sin(φ+θ).

用加法公式展开

cos(φ+θ) = cosφ cosθ − sinφ sinθ
sin(φ+θ) = sinφ cosθ + cosφ sinθ

代入得

x′ = r(cosφ cosθ − sinφ sinθ) = (r cosφ) cosθ − (r sinφ) sinθ = x cosθ − y sinθ
y′ = r(sinφ cosθ + cosφ sinθ) = (r sinφ) cosθ + (r cosφ) sinθ = y cosθ + x sinθ.

写成矩阵乘法

[x′]   [ cosθ  −sinθ ] [x]
[y′] = [ sinθ   cosθ ] [y].

于是

R(θ) = [ cosθ  −sinθ
sinθ   cosθ ].

验证
基向量 e₁ = (1,0) → 旋转后 (cosθ, sinθ)，正是矩阵第一列。
基向量 e₂ = (0,1) → 旋转后 (−sinθ, cosθ)，正是矩阵第二列。
线性变换完全由基向量的像决定，故矩阵正确。

验证
基向量 e₁ = (1,0) → 旋转后 (cosθ, sinθ)，正是矩阵第一列。
基向量 e₂ = (0,1) → 旋转后 (−sinθ, cosθ)，正是矩阵第二列。
线性变换完全由基向量的像决定，故矩阵正确。

3. 旋转矩阵的性质

R(α)R(β)=R(α+β)
二维旋转矩阵的“乘法对应角度相加”并不是凭空规定的，而是可以从三角恒等式严格推导出来的。

位置编码