直线与椭圆相交弦长计算公式

直线与椭圆相交弦长计算公式

说明：本文并非我原创，该定理为硬解定理，多参考书已有，只是我在学习写论文，以此为例而已。

摘要

针对直线与椭圆相交弦长的计算问题，本文采用一元二次方程求根公式，推导得出标准椭圆与任意直线相交的弦长计算公式。研究进一步发现：其一，通过韦达定理可以减少一部分计算；其二，通过等距变换，可将该方法推广至一般二次曲线，得到其与直线相交的弦长计算公式。此外，本文研究存在一定局限性：结合仿射变换与二次型理论，可将高中阶段相关题型拓展至更普遍的二次型理论框架，进而推导得出相应通用定理。

计算任意直线与中心在原点的椭圆相交弦长

如图1，表示一个与$x$轴夹角为$\theta$的直线：$x\sin \theta -y\cos \theta +c=0$
与焦点在$x$轴上的椭圆：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$相交于$A\left(x_A,y_A\right)$、$B\left(x_B,y_B\right)$两点的示意图。

要求解相交弦的长度，首先要求出$A$、$B$两点的坐标。联立直线与椭圆的方程：

$$\{\begin{array}{l}x\sin \theta -y\cos \theta +c=0\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{array}$$

消去$y$得到二元一次方程组：

$$(b^2{\cos }^2\theta +a^2{\sin }^2\theta )x^2+2a^{2}c\sin \theta \cdot x+(a^2{c}^2-a^2{b}^2{\cos }^2\theta )=0$$

当判别式大于$0$时，计算弦长为：

$$\begin{array}{rl}|AB|& =\sqrt{(x_A-x_B{)}^2+(y_A-y_B{)}^2}\\ & =\sqrt{1+{\tan }^2\theta }\sqrt{{\left(x_A+x_B\right)}^2-4x_1{x}_2}\\ & =\frac{2ab\sqrt{a^2{\sin }^2\theta +b^2{\cos }^2\theta -c^2}}{b^2{\cos }^2\theta +a^2{\sin }^2\theta }\end{array}$$

利用线性变换计算任意直线与任意椭圆相交弦长

如图2展示了：对于一般的二次曲线$\Gamma$：$A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+C=0$在坐标系中的情况，其长轴所在的直线与$x$轴的夹角为$\theta$。由于标准二次曲线处理起来较为简单，由此考虑先绕中心坐标$(h,k)$逆时针旋转$\theta$的角度然后平移到坐标原点得到中心落在坐标原点的标准二次曲线，变化矩阵如下：

$$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & h\\ \sin \theta & \cos \theta & k\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right)$$

由此，只要分析中心落在坐标原点的标准二次曲线即可。

更一般的二次曲线相交弦弦长公式

对于直线$L$:$Ax+By+C=0$与二次曲线$\Gamma$:$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1$，

同理联立两个方程可以得到：

$$\left(n{B}^2+m{A}^2\right)x^2+2mACx+m\left(C^2-n{B}^2\right)=0$$

不难得到，当$4mn\left(n{B}^2+m{A}^2-C^2{B}^2\right)>0$存在两个交点：

$$x_{1,2}=\frac{-mAC\pm \sqrt{mn\left(n{B}^2+m{A}^2-C^2\right)}}{\left(n{B}^2+m{A}^2\right)}$$

或由韦达定理：

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{2mAC}{n{B}^2+m{A}^2}\\ x_1{x}_2=\frac{m\left(C^2-n{B}^2\right)}{n{B}^2+m{A}^2}\end{array}$$

相交弦的长度为：

$$|AB|=\sqrt{1+{\left(\frac{A}{B}\right)}^2}\sqrt{{\left(-\frac{2mAC}{n{B}^2+m{A}^2}\right)}^2-4\cdot \frac{m\left(C^2-n{B}^2\right)}{n{B}^2+m{A}^2}}$$

化简得到：

$$\boxed{|AB|=\frac{2\sqrt{mn(A^2+B^2)(m{A}^2+n{B}^2-C^2)}}{n{B}^2+m{A}^2}}$$

结果与结果分析

结果

项目	椭圆$\Gamma :\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1$（$m>0,n>0$）	双曲线$\Gamma :\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1$（$m>0,n<0$ 或 $m<0,n>0$）
$x_1+x_2$	$\boxed{-\frac{2mAC}{n{B}^2+m{A}^2}}$	$\boxed{-\frac{2mAC}{n{B}^2+m{A}^2}}$
$x_1{x}_2$	$\boxed{\frac{m(C^2-n{B}^2)}{n{B}^2+m{A}^2}}$	$\boxed{\frac{m(C^2-n{B}^2)}{n{B}^2+m{A}^2}}$
判别式$\Delta$	$\boxed{4mn{B}^2(m{A}^2+n{B}^2-C^2)}$（$mn>0$）	$\boxed{4mn{B}^2(m{A}^2+n{B}^2-C^2)}$（$mn<0$）
相交条件	$\Delta >0⟹m{A}^2+n{B}^2>C^2$	$\Delta >0⟹m{A}^2+n{B}^2-C^2<0$（因$mn<0$，不等号方向反转）
弦长 (|AB|)	$\boxed{\frac{2\sqrt{mn(A^2+B^2)(m{A}^2+n{B}^2-C^2)}}{n{B}^2+m{A}^2}}$	$\boxed{\frac{2\sqrt{|mn|(A^2+B^2)(C^2-m{A}^2-n{B}^2)}}{n{B}^2+m{A}^2}}$

结果分析

令$A=\sin \theta$、$B=\cos \theta $、$C=c$、$m=a^2$和$n=b2$。代入推广结论得到：

$$|AB|=\frac{2ab\sqrt{a^2{\sin }^2\theta +b^2{\cos }^2\theta -c^2}}{b^2{\cos }^2\theta +a^2{\sin }^2\theta }$$

这与第一部分求解得到的结论是一样的，由此可验证结论的正确性。