均匀实心球内部引力与半径成正比的牛顿壳层定理证明

问题 5：使用牛顿壳层定理（参见第7.3.1节）证明，如果地球是一个均匀的实心球，那么其内部的引力与到中心的距离成正比。

解答

牛顿壳层定理表明：对于一个球对称的物体，引力相当于所有质量集中在中心点的引力；对于球内部的点，只有该点以内的部分质量对引力有贡献，外部的壳层对内部点的净引力为零。

假设地球是一个均匀的实心球，密度 $$\rho$$ 为常数。考虑球内一点，距离中心为 $$r$$。以中心为球心，以 $$r$$ 为半径作一个球面。根据壳层定理，只有半径小于 $$r$$ 的球体部分对该点有引力作用。

内部球体的质量 $$M_r=\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$$。

该点受到的引力来自于内部球体，相当于所有质量集中在中心点的引力。因此，引力 $$F=G\cdot M_r\cdot m/r^2$$，其中 $$m$$ 是测试质量。

代入 $$M_r$$：
$$F=G\cdot \left(\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3\right)\cdot m/r^2=\frac{4}{3}G\rho \pi mr.$$
因此，引力 $$F$$ 与 $$r$$ 成正比，即 $$F\propto r$$。