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进制定义与转换详解

ai 2025/7/27 15:46:10

文章目录

📘 进制定义与转换详解
- 一、进制的含义
- 二、常见进制介绍
- - 1. 十进制（Decimal，Base-10）
  - 2. 二进制（Binary，Base-2）
  - 3. 八进制（Octal，Base-8）
  - 4. 十六进制（Hexadecimal，Base-16）
- 三、进制之间的转换
- - 1. 任意进制 → 十进制
  - - 通用公式：
    - 示例：
  - 2. 十进制 → 任意进制
  - - 方法：除基取余法（从下往上读）
    - - 示例：十进制 `123` → 二进制
      - 示例：十进制 `100` → 八进制
      - 示例：十进制 `123` → 十六进制
  - 3. 二进制与其他进制的快速转换
  - - a. 二进制 → 八进制
    - - 示例：
    - b. 二进制 → 十六进制
    - - 示例：
- 四、负数的表示（以二进制为例）
- - 步骤：
  - - 示例：-100 的二进制表示
- 五、总结
进制加减法
- - 进制基础与加减法运算规则
  - - 一、二进制（Binary）
    - 二、八进制（Octal）
    - 三、十进制（Decimal）
    - 四、十六进制（Hexadecimal）
  - 总结
- 进制对照表

📘 进制定义与转换详解

一、进制的含义

进制，也称为进位计数制，是一种人为定义的、带进位的计数方法。每种进制都有其基数（Base），表示该进制下使用的不同数字个数。

X进制：每一位上的数字运算时都是逢X进一。
- 十进制：逢十进一
- 二进制：逢二进一
- 八进制：逢八进一
- 十六进制：逢十六进一
- ……

💡 小知识：也有不带进位的计数法，如“正”字计数、结绳记事等，但进制是现代数学和计算机中广泛使用的标准计数方式。

二、常见进制介绍

1. 十进制（Decimal，Base-10）

基数：10
符号：0 ~ 9
权重：10的幂次方
示例：
$\times 10^3 + 2 \times 10^2 + 3 \times 10^1 + 4 \times 10^0$

2. 二进制（Binary，Base-2）

基数：2
符号：0、1
权重：2的幂次方
用途：计算机底层表示数据的基本单位（0表示关，1表示开）
示例：
$1002=1×22+0×21+0×20=410100_2 = 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 0 \times 2^0 = 4_{10}$
表示方式：前缀 0B
```
int val = 0B100;  // 表示十进制4
```

3. 八进制（Octal，Base-8）

基数：8
符号：0 ~ 7
权重：8的幂次方
用途：早期计算机系统中常用，每个八进制位对应3个二进制位
示例：
$1238=1×82+2×81+3×80=8310123_8 = 1 \times 8^2 + 2 \times 8^1 + 3 \times 8^0 = 83_{10}$
表示方式：前缀 0
```
int val = 0123;  // 表示十进制83
```

4. 十六进制（Hexadecimal，Base-16）

基数：16
符号：0 ~ 9 和 A ~ F（或 a ~ f），其中：
- A = 10，B = 11，C = 12，D = 13，E = 14，F = 15
权重：16的幂次方
用途：常用于内存地址、颜色编码等，每个十六进制位对应4个二进制位
示例：
$1a2b3c16=1×165+10×164+2×163+11×162+3×161+12×160=1715004101a2b3c_{16} = 1 \times 16^5 + 10 \times 16^4 + 2 \times 16^3 + 11 \times 16^2 + 3 \times 16^1 + 12 \times 16^0 = 1715004_{10}$

表示方式：前缀 0x

int val = 0x1a2b3c;  // 表示十进制1715004

三、进制之间的转换

1. 任意进制 → 十进制

通用公式：

设某进制数为 xyzw...N，其十进制值为：

$Value=x×Bn−1+y×Bn−2+z×Bn−3+⋯+N×B0\text{Value} = x \times B^{n-1} + y \times B^{n-2} + z \times B^{n-3} + \cdots + N \times B^0$

其中：

$ B $：进制基数
$ n $：数字位数

示例：

二进制 0B100：
$\times 2^2 + 0 \times 2^1 + 0 \times 2^0 = 4$
八进制 0123：
$\times 8^2 + 2 \times 8^1 + 3 \times 8^0 = 83$
十六进制 0x1a2b3c：
$\times 16^5 + 10 \times 16^4 + 2 \times 16^3 + 11 \times 16^2 + 3 \times 16^1 + 12 \times 16^0 = 1715004$

2. 十进制 → 任意进制

方法：除基取余法（从下往上读）

在这里插入图片描述

示例：十进制 `123` → 二进制

123 ÷ 2 = 61 余 1
61  ÷ 2 = 30 余 1
30  ÷ 2 = 15 余 0
15  ÷ 2 = 7  余 1
7   ÷ 2 = 3  余 1
3   ÷ 2 = 1  余 1
1   ÷ 2 = 0  余 1

从下往上读取余数：1111011，补全为8位：0B01111011

示例：十进制 `100` → 八进制

100 ÷ 8 = 12 余 4
12  ÷ 8 = 1  余 4
1   ÷ 8 = 0  余 1

结果：0144

示例：十进制 `123` → 十六进制

123 ÷ 16 = 7 余 11（B）
7   ÷ 16 = 0 余 7

结果：0x7b

3. 二进制与其他进制的快速转换

a. 二进制 → 八进制

原理：3位二进制 = 1位八进制（因为 $2^3 = 8$ ）
方法：从右往左每3位一组，不足补0，每组转为八进制数

示例：

二进制：0B10100101011110011
分组：101 001 010 111 100 11（补0 → 011）
转换：5   1   2   7   4   3
结果：0512743

在这里插入图片描述

b. 二进制 → 十六进制

原理：4位二进制 = 1位十六进制（因为 $2^4 = 16$ ）
方法：从右往左每4位一组，不足补0，每组转为十六进制数

示例：

二进制：0B00010101001010101010
分组：0001 0101 0010 1010 1010
转换：1    5    2    A    A
结果：0x152AA

在这里插入图片描述

四、负数的表示（以二进制为例）

在计算机中，负数使用补码表示。

步骤：

求原码：正数的二进制表示
求反码：按位取反（符号位不变）
求补码：反码 + 1

示例：-100 的二进制表示

原码：100 = 01100100（假设8位）
反码：10011011
补码：10011100

所以，-100 的二进制补码表示为：0B10011100

五、总结

进制	基数	符号范围	表示前缀	特点
十进制	10	0~9	无	日常使用
二进制	2	0,1	`0B`	计算机基础
八进制	8	0~7	`0`	简化二进制
十六进制	16	0~9, A~F	`0x`	内存地址、颜色代码

进制加减法

以下是对进制加减法相关内容的优化叙述，逻辑更清晰、结构更严谨：

进制基础与加减法运算规则

在计算机科学和编程中，理解不同进制及其运算规则是非常重要的基础知识。常见的进制包括二进制、八进制、十进制和十六进制。它们的核心区别在于所使用的数字范围和进位规则。

一、二进制（Binary）

表示方式：使用两个数字 0 和 1 来表示数值。
应用场景：计算机内部所有数据都以二进制形式存储和处理。
加法规则：逢二进一。
例如：1 + 1 = 10
减法规则：借一当二。
例如：10 - 1 = 1

在这里插入图片描述

二、八进制（Octal）

表示方式：使用八个数字 0 到 7 来表示数值。
加法规则：逢八进一。
例如：7 + 1 = 10
减法规则：借一当八。
例如：10 - 1 = 7

在这里插入图片描述

三、十进制（Decimal）

表示方式：使用十个数字 0 到 9 来表示数值。
加法规则：逢十进一。
减法规则：借一当十。

四、十六进制（Hexadecimal）

表示方式：使用数字 0 到 9 和字母 A 到 F 来表示数值。
其中：
- A = 10
- B = 11
- C = 12
- D = 13
- E = 14
- F = 15
字母说明：不区分大小写，ABCDEF 也可以写作 abcdef。
加法规则：逢十六进一。
例如：F + 1 = 10
减法规则：借一当十六。
例如：10 - 1 = F