数学复习笔记 15

前言

例题一道要分析好多内容。感觉这个过程就是打基础和实力提升的过程。另外武忠祥也说了，把百分之七十的精力放到基础阶段来。我要好好复习基础知识。

2.31

这个是一个必须要记住的结论。现在这个题是要证明这个结论。首先要证明的就是满秩的时候，伴随矩阵的秩也是阶数。感觉有点无从下手啊。伴随矩阵是每个元素换成代数余子式，然后取转置得到的。但是这里也没有具体的数值，代数余子式这种定义法大概率是用不了了。满秩表示这个矩阵是可逆的，表示这个矩阵的行列式不为零，也就是说 n 阶子式不为零，并且 n 阶子式只有一种情况。现在讨论的是方阵。但是伴随矩阵是啥情况呢，每个元素都换成了代数余子式。还是看一下解析吧。。

奥，忘掉了，看到伴随矩阵就考虑万能公式。$$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$$。然后可以推导出 $$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$$，因为满秩，所以 A 的行列式不为零，那么 A* 的行列式也不为零。那么伴随矩阵也是满秩的。真是一环扣一环啊。

这个矩阵的秩是 n - 1 的时候非常综合。首先是万能公式，然后是矩阵的秩的内标的性质，同时，假设不是满秩，行列式都是零，内标性质可以得到一个不等式，矩阵的秩是 n - 1 表示至少有一个 n - 1 阶子式不为零，那就是至少有一个余子式不为零，那就是至少有一个代数余子式不为零，伴随矩阵的每个元素都是代数余子式，所以伴随矩阵至少有一个元素不为零，那么伴随矩阵就一定不是零矩阵，那么伴随矩阵的秩就至少大于等于 1.从而夹逼准则算出来伴随矩阵的秩。这题还是太有操作性了！！！

最后秩小于 n - 1 的时候，表示矩阵的所有 n - 1 阶子式都是零，那么所有的余子式都是零，代数余子式也都是零，那么伴随矩阵的每个元素都是零，那么伴随矩阵就是零矩阵，零矩阵很明显秩是零。一行有效元素都没有。或者认为这是我们规定的也可以。这个果然还是证明一遍，对这个结论的理解更加深刻。

background music

《你一定要幸福》金玟岐

2.30

这个就是简单的性质应用。感觉能反应过来，把那些不等式列出来，然后夹逼准则就可以秒了。假设反应不过来，基本上就废了，估计这题动不了笔。非零矩阵的秩一定大于等于一，然后，内标性质，就是两个矩阵相乘是零矩阵，那么可以列出来，这两个矩阵的秩的和小于内标。这题是把两个不同的值代进去，然后就可以算出来答案就是 D

解析和我考虑的是一致的。

2.29

这题是不小心看到答案了。但是没事，我也想到了解题的步骤。就是矩阵相乘，越乘，秩越小。所以可以列出来一个不等式，然后矩阵的秩是小于行数，小于列数的，这里也可以列出来一个不等式，然后夹逼准则就可以得到最后的答案了。所以秩的性质很喜欢和夹逼准则一块儿考察。