0前言（文章体系）
1. 课程与基础概念
- 1.1 课程简介
2. 函数与数学分析基础
- 1.2 函数
- 1.3 极限
- 1.4 无穷小与无穷大
- 1.5 连续性与导数
- 1.6 偏导数
- 1.7 方向导数
- 1.8 梯度
3. 微积分基础
- 2.1 微积分基本想法
- 2.2 微积分的解释
- 2.3 定积分
- 2.4 定积分性质
- 2.5 牛顿-莱布尼茨公式
4. 泰勒展开与优化方法
- 3.1 泰勒公式出发点
- 3.2 一点一世界
- 3.3 阶数的作用
- 3.4 阶乘的作用
- 3.5 拉格朗日乘子法
- 3.6 求解拉格朗日乘子法
5. 线性代数基础
- 4.1 行列式概述
- 4.2 矩阵与数据的关系
- 4.3 矩阵基本操作
- 4.4 矩阵的几种变换
- 4.5 矩阵的秩
- 4.6 内积与正交
6. 特征值、特征向量与矩阵分解
- 5.1 特征值与特征向量
- 5.2 特征空间与应用
- 5.3 SVD要解决的问题
- 5.4 特征值分解
- 5.5 SVD矩阵分解
7. 概率论基础
- 6.1 离散型随机变量
- 6.2 连续型随机变量
- 6.3 简单随机抽样
- 6.4 似然函数
- 6.5 极大似然估计
- 7.1 概率与频率
- 7.2 古典概型
- 7.3 条件概率
- 7.4 条件概率小例子
- 7.5 独立性
- 7.6 二维离散型随机变量
- 7.7 二维连续型随机变量
- 7.8 边缘分布
- 7.9 期望
- 7.10 期望求解
- 7.11 马尔科夫不等式
- 7.12 切比雪夫不等式
- 7.13 后验概率估计
8. 常见概率分布
- 8.1 正态分布
- 8.2 二项式分布
- 8.3 泊松分布
- 8.4 均匀分布
- 8.5 卡方分布
- 8.6 Beta分布
9. 核方法与核函数
- 9.1 核函数的目的
- 9.2 线性核函数
- 9.3 多项式核函数
- 9.4 核函数实例
- 9.5 高斯核函数
- 9.6 参数的影响
10. 信息论与激活函数
- 10.1 熵的概念
- 10.2 熵的大小意味着什么
- 10.3 激活函数
- 10.4 激活函数的问题
11. 回归分析
- 11.1 回归分析概述
- 11.2 回归方程定义
- 11.3 误差项的定义
- 11.4 最小二乘法推导与求解
- 11.5 回归方程求解小例子
- 11.6 回归直线拟合优度
- 11.7 多元与曲线回归问题
- 11.8 Python工具包介绍
- 11.9 statsmodels回归分析
- 11.10 高阶与分类变量实例
- 11.11 案例：汽车价格预测任务概述
- 11.12 案例：缺失值填充
- 11.13 案例：特征相关性
- 11.14 案例：预处理问题
- 11.15 案例：回归求解
12. 假设检验
- 12.1 假设检验基本思想
- 12.2 左右侧检验与双侧检验
- 12.3 Z检验基本原理
- 12.4 Z检验实例
- 12.5 T检验基本原理
- 12.6 T检验实例
- 12.7 T检验应用条件
- 12.8 卡方检验
- 12.9 假设检验中的两类错误
- 12.10 Python假设检验实例
- 12.11 Python卡方检验实例
13. 相关分析
- 13.1 相关分析概述
- 13.2 皮尔森相关系数
- 13.3 计算与检验
- 13.4 斯皮尔曼等级相关
- 13.5 肯德尔系数
- 13.6 质量相关分析
- 13.7 偏相关与复相关
14. 方差分析（ANOVA）
- 14.1 方差分析概述
- 14.2 方差的比较
- 14.3 方差分析计算方法
- 14.4 方差分析中的多重比较
- 14.5 多因素方差分析
- 14.6 Python方差分析实例
15. 聚类分析
- 15.1 层次聚类概述
- 15.2 层次聚类流程
- 15.3 层次聚类实例
- 15.4 KMEANS算法概述
- 15.5 KMEANS工作流程
- 15.6 KMEANS迭代可视化展示
- 15.7 DBSCAN聚类算法
- 15.8 DBSCAN工作流程
- 15.9 DBSCAN可视化展示
- 15.10 多种聚类算法概述
- 15.11 聚类案例实战
16. 贝叶斯统计
- 16.1 贝叶斯分析概述
- 16.2 概率的解释
- 16.3 贝叶斯学派与经典统计学派的争论
- 16.4 贝叶斯算法概述
- 16.5 贝叶斯推导实例
- 16.6 贝叶斯拼写纠错实例
- 16.7 垃圾邮件过滤实例
- 16.8 贝叶斯解释
- 16.9 经典求解思路
- 16.10 MCMC概述
- 16.11 PYMC3概述
- 16.12 模型诊断
- 16.13 模型决策
简单解释
知识树根系：数学三原色（模块1-6）
- 函数与极限（模块2）→ 观察世界的显微镜
• 为什么学：世间万物都在变化（股票价格、气温波动），函数就是描述变化的语言
• 关键突破：当变化无限小时（1.3极限），瞬时速度（1.5导数）概念诞生 → 后来演变成梯度（1.8）
• 暗线：导数本质是函数空间的线性逼近（为泰勒展开埋下伏笔）
- 微积分（模块3）→ 计算变化的工具箱
• 核心发现：微分与积分互为逆运算（2.5牛顿公式）→ 如同拼图的正反两面
• 工程价值：求曲线下面积（2.3定积分）看似抽象，实则是计算概率（模块7）的基础
- 线性代数（模块5-6）→ 高维空间的导航仪
• 矩阵革命：把方程组运算（4.3矩阵操作）抽象为空间变换
• 降维打击：特征值分解（5.4）就像找到数据的主轴方向 → 后来发展为PCA降维
交汇点：泰勒展开（模块4）是数学思维的转折点
• 用多项式函数（1.2）逼近复杂函数 → 开启用简单工具解决复杂问题的先河
• 拉格朗日乘子法（3.5）本质是在约束条件下找最优路径 → 现代优化的鼻祖
知识树主干：概率与信息（模块7-10）
- 概率论（模块7-8）→ 不确定性的度量衡
• 认知革命：从确定性的"必然"（古典概型7.2）到不确定的"可能"（条件概率7.3）
• 核心武器：正态分布（8.1）如同概率世界的引力定律 → 支撑后续所有统计检验
- 信息论（模块10）→ 知识的量化标准
• 熵（10.1）的哲学：混乱度的度量 → 后来成为决策树（机器学习）的核心指标
• 激活函数（10.3）：将概率转化为神经元开关 → 神经网络的启蒙思想
关键转折：核方法（模块9）突破维度诅咒
• 线性不可分？用核函数把数据"炸"到高维空间（9.5高斯核）→ 支持向量机的理论基础
知识树枝干：数据分析四剑客（模块11-14）
- 回归分析（模块11）→ 因果关系的探测器
• 最小二乘法（11.4）实质是寻找最优拟合平面 → 线性代数（4.3）的工程实现
• 案例实战（11.11-15）演示数据清洗到预测的全流程 → 真实世界的数学建模
- 假设检验（模块12）→ 统计推断的法庭
• Z/T检验（12.3-6）如同概率世界的"无罪推定"
• 两类错误（12.9）揭示统计学家的风险管控思维
- 方差分析（14）→ 多组比较的放大镜
• 方差分解思想直接继承矩阵秩（4.5）的概念 → 用线性代数破解生物实验难题
知识树果实：智能算法（模块15-16）
- 聚类分析（15）→ 无监督学习的探路者
• KMEANS（15.4）本质是梯度下降（1.8）的循环逼近 → 数学优化思想的延伸
• DBSCAN（15.7）用概率密度（8.4）定义族群 → 概率论与几何的结合
- 贝叶斯统计（16）→ 动态更新的认知系统
• 贝叶斯定理（16.5）实现"用新证据更新信念" → 垃圾邮件过滤（16.7）的数学内核
• MCMC（16.10）如同高维空间的智能探针 → 突破积分计算难题
终极白话说人话版：
整个知识体系就像在训练「用数学语言翻译现实世界」的能力：
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基础语法：函数是动词（描述变化），矩阵是介词（连接变量），概率是情态动词（表达可能性）
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核心技能：
• 看见看不见的：用导数看趋势，用积分看总量，用概率看可能性• 处理复杂的：用矩阵分解高维数据，用核函数突破线性限制
• 预测未知的：用回归找规律，用贝叶斯更新认知
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终极目标：培养「遇到问题→数学建模→算法解决→现实验证」的闭环思维
举个实际例子：预测房价（模块11案例）
• 用函数（1.2）描述房价随时间变化 → 用导数（1.5）找最佳投资时点 → 用矩阵（4.3）处理多因素（面积、学区等） → 用回归（11.4）建立预测模型 → 用假设检验（12.3）验证因素显著性 → 最终用聚类（15）划分客户群体