lnx 0-1 积分

我们来求定积分：

$${\int }_0^1\ln xdx$$

这是一个常见的考研/高数经典题目，但它属于广义积分（不定型积分），因为在 $x=0$ 处，$\ln x\to -\infty$，函数在下限处趋于无穷大（发散），所以不能直接计算。

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✅ 解题步骤如下：

第一步：把积分写成极限形式（处理 $x=0$ 的不可积点）

$${\int }_0^1\ln xdx=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{\int }_{\epsilon }^1\ln xdx$$

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第二步：计算不定积分

回忆公式：

$$\int \ln xdx=x\ln x-x+C$$

于是：

$${\int }_{\epsilon }^1\ln xdx={\left[x\ln x-x\right]}_{\epsilon }^1=\left(1\cdot \ln 1-1\right)-\left(\epsilon \ln \epsilon -\epsilon \right)$$

由于 $\ln 1=0$，所以：

$$=-1-(\epsilon \ln \epsilon -\epsilon )$$

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第三步：极限计算

计算：

$$\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\left[-1-(\epsilon \ln \epsilon -\epsilon )\right]$$

我们需要处理：

$$\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\epsilon \ln \epsilon$$

令 $\epsilon =\frac{1}{t}$，当 $\epsilon \to 0^{+}$ 时，$t\to \infty$

$$\epsilon \ln \epsilon =\frac{1}{t}\ln \left(\frac{1}{t}\right)=-\frac{1}{t}\ln t\to 0$$

因为 $\ln t/t\to 0$。

所以：

$$\epsilon \ln \epsilon \to 0,\epsilon \to 0$$

于是：

$$\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\left[-1-(\epsilon \ln \epsilon -\epsilon )\right]=-1-(0-0)=-1$$

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✅ 最终答案：

$$\boxed{{\int }_0^1\ln xdx=-1}$$

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如果你愿意，我也可以画图直观展示 $\ln x$ 在 $(0,1)$ 上的积分面积和趋于极限的过程，要不要？