线性微分方程与非线性微分方程

方程一

$$\frac{dx}{dt}=x$$

这是一个一阶线性常微分方程，可以直接分离变量求解。

将变量分离：

$$\frac{dx}{x}=dt$$

两边积分：

$$\int \frac{1}{x}dx=\int 1dt\Rightarrow \ln |x|=t+C$$

两边取指数：

$$|x|=e^{t+C}=e^C\cdot e^t$$
记 $A=\pm e^C$，即为常数，得通解：

$$x(t)=A{e}^t$$

方程二

$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=\cos x$$

这个是一个二阶常微分方程，并且由于右侧是 $\cos x$，它是非线性的，因此不能通过常规线性微分方程方法求得解析解。但我们可以采用能量守恒法（乘上 $\frac{dx}{dt}$ 积分）将其化为一阶微分方程。

步骤一：将其降阶

设：

$$v=\frac{dx}{dt}\Rightarrow \frac{d^{2}x}{d{t}^2}=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}=v\cdot \frac{dv}{dx}$$

代入原方程：

$$v\cdot \frac{dv}{dx}=\cos x$$

两边同时积分：

$$\int vdv=\int \cos xdx\Rightarrow \frac{v^2}{2}=\sin x+C$$

即：

$${\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2=2\sin x+C_1\Rightarrow \frac{dx}{dt}=\pm \sqrt{2\sin x+C_1}$$

步骤二：形式上积分得到 t

此时我们得到了：

$$\frac{dx}{\sqrt{2\sin x+C_1}}=\pm dt$$

积分两边：

$$\int \frac{dx}{\sqrt{2\sin x+C_1}}=\pm t+C_2$$

这个积分通常不能用初等函数表示，它涉及椭圆积分，所以解析解一般只能写成隐式表达式：

$$t=\int \frac{dx}{\sqrt{2\sin x+C_1}}+C$$