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深入剖析二叉树家族：二叉树、平衡二叉树、满二叉树与搜索二叉树

web 2025/5/4 1:28:32

本文介绍从简单的二叉树到具有特殊性质的平衡二叉树、满二叉树和搜索二叉树，它们各自拥有独特的特点和广泛的应用场景。

一、二叉树

1. 定义

二叉树是一种树形数据结构，其每个节点最多拥有两个子节点，分别称作左子节点和右子节点。二叉树可以为空，仅含一个根节点，或者由根节点和左右子树构成，且左右子树同样为二叉树。

2. 特点

节点的度（子节点数量）不超过 2。

左右子树具有顺序，不可随意交换。

3. 实现

#include <iostream>// 定义二叉树节点
struct TreeNode {int value;TreeNode* left;TreeNode* right;TreeNode(int val) : value(val), left(nullptr), right(nullptr) {}
};// 示例：创建一个简单的二叉树
int main() {TreeNode* root = new TreeNode(1);root->left = new TreeNode(2);root->right = new TreeNode(3);// 后续可以进行更多操作，这里简单释放内存delete root->left;delete root->right;delete root;return 0;
}

4. 应用

可用于表示具有层次结构的数据，如文件系统的目录结构。

在编译器中，用于构建语法分析树。

二、平衡二叉树（AVL 树）

1. 定义

平衡二叉树，即 AVL 树，是一种自平衡的二叉搜索树。在 AVL 树中，每个节点的左右子树的高度差的绝对值不超过 1，且左右子树也都是平衡二叉树。

2. 特点

能确保树的高度始终维持在 $O(\log_{2}n)$ 级别，使得插入、删除和查找操作的时间复杂度均为 $O(\log_{2}n)$ 。

通过旋转操作（左旋、右旋、左右旋、右左旋）来维持树的平衡。

3. 实现

#include <iostream>// 定义 AVL 树节点
struct AVLTreeNode {int value;int height;AVLTreeNode* left;AVLTreeNode* right;AVLTreeNode(int val) : value(val), height(1), left(nullptr), right(nullptr) {}
};// 获取节点高度
int getHeight(AVLTreeNode* node) {return node ? node->height : 0;
}// 获取平衡因子
int getBalance(AVLTreeNode* node) {return node ? getHeight(node->left) - getHeight(node->right) : 0;
}// 右旋操作
AVLTreeNode* rightRotate(AVLTreeNode* y) {AVLTreeNode* x = y->left;AVLTreeNode* T2 = x->right;x->right = y;y->left = T2;y->height = std::max(getHeight(y->left), getHeight(y->right)) + 1;x->height = std::max(getHeight(x->left), getHeight(x->right)) + 1;return x;
}// 左旋操作
AVLTreeNode* leftRotate(AVLTreeNode* x) {AVLTreeNode* y = x->right;AVLTreeNode* T2 = y->left;y->left = x;x->right = T2;x->height = std::max(getHeight(x->left), getHeight(x->right)) + 1;y->height = std::max(getHeight(y->left), getHeight(y->right)) + 1;return y;
}// 插入节点
AVLTreeNode* insert(AVLTreeNode* node, int value) {if (!node) return new AVLTreeNode(value);if (value < node->value)node->left = insert(node->left, value);else if (value > node->value)node->right = insert(node->right, value);elsereturn node;node->height = 1 + std::max(getHeight(node->left), getHeight(node->right));int balance = getBalance(node);// 左左情况if (balance > 1 && value < node->left->value)return rightRotate(node);// 右右情况if (balance < -1 && value > node->right->value)return leftRotate(node);// 左右情况if (balance > 1 && value > node->left->value) {node->left = leftRotate(node->left);return rightRotate(node);}// 右左情况if (balance < -1 && value < node->right->value) {node->right = rightRotate(node->right);return leftRotate(node);}return node;
}// 中序遍历
void inorder(AVLTreeNode* root) {if (root) {inorder(root->left);std::cout << root->value << " ";inorder(root->right);}
}int main() {AVLTreeNode* root = nullptr;root = insert(root, 10);root = insert(root, 20);root = insert(root, 30);root = insert(root, 40);root = insert(root, 50);root = insert(root, 25);std::cout << "Inorder traversal of the AVL tree: ";inorder(root);std::cout << std::endl;return 0;
}

4. 应用

数据库索引：在需要频繁进行插入、删除和查找操作的数据库中，能保证高效的性能。

搜索引擎：用于快速查找和排序数据。

三、满二叉树

1. 定义

满二叉树是一种特殊的二叉树，其中每个内部节点（非叶子节点）都有两个子节点，并且所有叶子节点都处于同一层。

2. 特点

节点总数为 $2^{h}-1$ ，其中 h 为树的高度。

3. 实现

#include <iostream>
#include <cmath>// 定义二叉树节点
struct TreeNode {int value;TreeNode* left;TreeNode* right;TreeNode(int val) : value(val), left(nullptr), right(nullptr) {}
};// 检查是否为满二叉树
bool isFullBinaryTree(TreeNode* root) {if (!root) return true;if (!root->left && !root->right) return true;if (root->left && root->right)return isFullBinaryTree(root->left) && isFullBinaryTree(root->right);return false;
}// 计算树的高度
int treeHeight(TreeNode* root) {if (!root) return 0;return 1 + std::max(treeHeight(root->left), treeHeight(root->right));
}// 检查节点总数是否符合满二叉树的要求
bool isFull(TreeNode* root) {int h = treeHeight(root);int nodes = std::pow(2, h) - 1;return isFullBinaryTree(root) && nodes == std::pow(2, h) - 1;
}int main() {TreeNode* root = new TreeNode(1);root->left = new TreeNode(2);root->right = new TreeNode(3);root->left->left = new TreeNode(4);root->left->right = new TreeNode(5);root->right->left = new TreeNode(6);root->right->right = new TreeNode(7);if (isFull(root))std::cout << "The tree is a full binary tree." << std::endl;elsestd::cout << "The tree is not a full binary tree." << std::endl;return 0;
}

4. 应用

在一些算法中，满二叉树的规则结构可以简化计算和分析。

用于构建完全二叉堆等数据结构。

四、搜索二叉树（二叉搜索树）

1. 定义

搜索二叉树（Binary Search Tree，BST）是一种二叉树，对于树中的每个节点，其左子树中的所有节点的值都小于该节点的值，而右子树中的所有节点的值都大于该节点的值。

2. 特点

中序遍历搜索二叉树可以得到一个有序的序列。

插入、删除和查找操作的平均时间复杂度为 $O(\log_{2}n)$ ，但在最坏情况下（树退化为链表）时间复杂度为 $O(n)$ 。

3. 实现

#include <iostream>// 定义二叉搜索树节点
struct BSTNode {int value;BSTNode* left;BSTNode* right;BSTNode(int val) : value(val), left(nullptr), right(nullptr) {}
};// 插入节点
BSTNode* insert(BSTNode* root, int value) {if (!root) return new BSTNode(value);if (value < root->value)root->left = insert(root->left, value);else if (value > root->value)root->right = insert(root->right, value);return root;
}// 中序遍历
void inorder(BSTNode* root) {if (root) {inorder(root->left);std::cout << root->value << " ";inorder(root->right);}
}// 查找节点
bool search(BSTNode* root, int value) {if (!root) return false;if (root->value == value) return true;if (value < root->value)return search(root->left, value);elsereturn search(root->right, value);
}int main() {BSTNode* root = nullptr;root = insert(root, 50);insert(root, 30);insert(root, 20);insert(root, 40);insert(root, 70);insert(root, 60);insert(root, 80);std::cout << "Inorder traversal of the BST: ";inorder(root);std::cout << std::endl;int key = 60;if (search(root, key))std::cout << key << " found in the BST." << std::endl;elsestd::cout << key << " not found in the BST." << std::endl;return 0;
}