算法习题-经典环形涂色问题

在对某个圆上色，具体步骤为：  
首先在纸上画下一个圆，然后在圆内画一个圆，圆 内不上色。  
现在将圆内除圆的区域等分为个部分，如图所示。对此个部分使用种颜色上色，使得相邻两个区域的颜色不同，问共有多少种不同方案，由于结果可能很大，对取模后输出。 （对于两种不同的方案，只要有一个区域上色的颜色不同，我们即认为是不同的）

解题思路：

设  表示当有个部分，种颜色时的所有方案数。考虑当时，因为当只有一个部分时，没有相邻的部分，不满足条件，因此种类有 0 个。考虑当时，。当有个部分时，可以分为两种情况：

       1、 第 1 个和第 n-1 个相同时：第 n 个有 m-1 种选法，前 n-1 个的选法总数等于，因为第 1 个和第 n-1 个相同，因此相当于第 n-2 个直接连接在了第  1 个上，因此种数就相当于因此，该种情况的总数为：
       2、 第 1 个和第 n-1 个不同时：第 n 个有 m-2 种选法，而第 1 个到第 n-1 个就相当于一个完整的环，因此，种数为：  因此，该种情况的总数为：

由以上两种情况即可推导出递推式为：

进一步化简，利用特征方程，进行尝试求解

变换形式：原式 = 
由于是二阶线性方程，

设 ，那末 ，
故：
解得：，，

带入：，
可得：

代码实现：

import java.util.*;
public class Main{static int p = (int)1e9 + 7;public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);long n = sc.nextLong();long m = sc.nextLong();if(n == 2) System.out.println(m * (m-1) % p);else {long t1 = qmi(m-1,n);long t2 = (qmi(-1,n) * (m-1) + p) % p;System.out.println((t1 + t2) % p);}}static long qmi(long a,long k) {long res = 1;while(k != 0) {if((k & 1) == 1) res = res * a % p;a = a * a % p;k >>= 1;}return res;}
}