高中为何要引入集合

前情概要

当你信心满怀的步入高中，开始高中数学的学习之后，你慢慢会感觉到高中数学不再是那么好玩的了，大概在开学一个月余，你似乎有点玩不转了，你开始慢慢动摇，开始怀疑自己，不再豪情万丈，信心百倍，此时估计你需要静雅斋数学的指引。

为何引入集合

对于高一的新生，往往不能理解为什么要引入这么抽象和晦涩的数学素材[集合]，我们尝试用以下的例子加以理解和体会。

通过以下的例子，我们可以感悟，有了集合这种数学语言，数学内容可以表达的更加简洁和精确；或者说初中的内容仅仅是数学的皮毛，而高中数学已经开始向更高深晦涩的高等数学方向迈进，故作为刻画这些数学素材的工具[即集合]，她的学习、理解、应用最起码应该走在最前面。

比如刻画不等式的解集；初中我们说，不等式 $x^2-3x+2⩽0$ 的解为 $1⩽$$x$$⩽$$2$ [不等式形式的表达]，而用集合语言写为：$A$$=$ { x \{x {x$\mid$$x^2$$-3x$$+$$2$$⩽$$0\}$$=$$[1,2]$；

比如刻画方程的根；初中我们说，方程 $x^2-4=0$ 的根为 $x=2$ 或 $x=-2$，用集合语言写为：$A$$=$ { \{ {$x$$\mid$$x^2$$-$$4$$=$$0\}$$=$ { \{ {$-2$$,$$2$$\}$；

再比如刻画函数的定义域和值域； A = { x ∣ y = x 2 − 3 x + 1 } A=\{x\mid y=x^2-3x+1\} A={x∣y=x2−3x+1} 表示函数 $y=x^2-3x+1$ 的定义域，即不等式 $x^2$$-$$3x$$+1$$⩽$$0$ 的解集；而集合 $B$$=$ { \{ {$y$$\mid$$y$$=$$x^2$$-$$3x$$+$$1\}$ 表示函数 $y$$=$$x^2$$-3x$$+1$ 的值域；

再比如刻画曲线上的点集，集合 $C=\{(x,y)\mid y=x^2-3x+1\}$，表示二次函数曲线 $y$$=$$x^2$$-$$3x$$+$$1$ 上的所有点构成的集合，虽然说抽象了许多，但更加简洁了许多；当然数学语言的特点就是简洁、精确。也正因为这样我们学习数学概念的时候要注意准确理解其内涵和外延。

引入集合以后

• 当我们艰难的引入集合这个概念后，有些题目会有意识的使用集合语言来表述刻画，此时需要让学生理解集合语言的应用，并适应和主动使用集合语言来刻画数学素材。

比如，不等式的解集的给出方式：

例1、已知集合 A = { x ∣ x 2 − ( a + 1 ) x + a < 0 } A=\{x\mid x^2-(a+1)x+a<0\} A={x∣x2−(a+1)x+a<0}， B = { − 4 , − 1 } B=\{-4,-1\} B={−4,−1}，$B\subseteq A$，求 $a$ 的取值范围；

$A.a⩽-4$ $B.a<-4$ $C.a⩾-2$ $D.a>-2$

分析：由于 $B\subseteq A$，故 $-4\in A$，$-2\in A$，

则必然满足 $\{\begin{array}{l}16+4(a+1)+a<0\\ 4+2(a+1)+a<0\end{array}$ \quad 解得 $a<-4$，故选 $B$.

方程的根的给出方式：

例2、已知集合 A = { x ∣ x 2 − 3 x + k = 0 } A=\{x\mid x^2-3x+k=0\} A={x∣x2−3x+k=0} ，$2\in A$，求 $k$ 的值；

分析：由于 $2\in A$，则 $x=2$ 为方程的根，

则有 $2^2-3\times 2+k=0$，解得 $k=2$;

例3、[自编]已知集合 A = { x ∣ x 2 − m x + k = 0 } A=\{x\mid x^2-mx+k=0\} A={x∣x2−mx+k=0} ，$2\in A$ 且 $1\in A$，求 $m$ 和 $k$ 的值；

分析：韦达定理，$m=3$，$k=2$；

例4、[自编]已知集合 A = { x ∣ x 2 − 3 x + k = 0 } A=\{x\mid x^2-3x+k=0\} A={x∣x2−3x+k=0} ，且集合 $A$ 的所有子集个数为 $2$ 或者说成集合 $A$ 为单元素集，或者说成集合 $A$ 中只有一个元素，题目的结果都是一样的。，求 $k$ 的值；

分析：集合 $A$ 为单元素集合，故 $\Delta =0$，则有 $\Delta =(-3{)}^2-4\times 1\times k=0$，

解得，$k=\frac{9}{4}$;

例5、已知集合 A = { x ∣ x 2 − ( a + 1 ) x + a < 0 } A=\{x\mid x^2-(a+1)x+a<0\} A={x∣x2−(a+1)x+a<0}，$B=(-4,1)$，$B=A$，求 $a$ 的值；

分析：说明方程 $x^2-(a+1)x+a=0$ 的两个根分别为 $x_1=-4$，$x_2=1$，故可以利用韦达定理求参数的值；

则 $\{\begin{array}{l}-4+1=a+1\\ -4\times 1=a\end{array}$ \quad 解得 $a=-4$.

函数的定义域值域的给出方式：

例6、集合 A = { x ∣ x 2 − ( a + 1 ) x + a ⩽ 0 } A=\{x\mid x^2-(a+1)x+a\leqslant0\} A={x∣x2−(a+1)x+a⩽0}，集合 B = { x ∣ y = x 2 + x + 1 } B=\{x\mid y=x^2+x+1\} B={x∣y=x2+x+1}，求 $A\cap B$；

分析：容易化简得到 $B=\mathbb{R}$，而化简集合 $A$ 时，需要针对 $a$ 分类讨论如下：

当 $a=1$ 时， A = { 1 } A=\{1\} A={1}，故 A ∩ B = { 1 } A\cap B=\{1\} A∩B={1}；

当 $a>1$ 时，$A=[1,a]$，故 $A\cap B=[1,a]$；

当 $a<1$ 时，$A=[a,1]$，故 $A\cap B=[a,1]$；

更多的给出方式

涉及不等式的解的给出方式，注意我引入的新的说法，给出方式，即我们经常说的，话有三说，巧说为妙 。

• 直接给出：$x=1$ 是不等式 $x^2-2x+a\le 0$ 的解，求 $a$ 的范围。解读：将 $x=1$ 代入原来的关于 $x$ 的一元二次不等式是满足的，这样就得到了关于 $a$ 的 一元不等式，故解不等式可以求得 $a$ 的范围。

• 间接给出： A = { x ∣ x 2 − 2 x + a ≤ 0 } A=\{x\mid x^2-2x+a\leq 0\} A={x∣x2−2x+a≤0}，且 { 1 } ⫋ A \{1\}\subsetneqq A {1}⫋A，求 $a$ 的范围。解读：即 $x=1$ 是不等式 $x^2-2x+a\le 0$ 的解；

• 间接给出：当 $x=1$ 时不等式 $x^2-2x+a\le 0$ 是真命题，求 $a$ 的范围；解读：即 $x=1$ 是不等式 $x^2-2x+a\le 0$ 的解；

当 $x=1$ 时不等式 $x^2-2x+a>0$ 是假命题，求 $a$ 的范围。解读：即当 $x=1$ 时不等式 $x^2-2x+a\le 0$ 是真命题，

• 隐晦给出：集合 A = { x ∣ x 2 − 2 x + a > 0 } A=\{x\mid x^2-2x+a>0\} A={x∣x2−2x+a>0}，$1\notin A$，求 $a$ 的范围；解读：即 $x=1$ 是不等式 $x^2-2x+a\le 0$ 的解；

关联其他素材

• 用集合定义充分必要条件

学习了集合之后，我们就可以用集合来定义或理解充分必要条件，在此基础上我们对数学概念的理解会更加精准。

• 用集合定义新定义题目

学习了集合之后，我们就可以用集合来定义我们没有学过的新的数学素材，这类题目我们称之为新定义问题，她们是高考中一类高频命题类型。

• 其他的类型关联，如分类统计，逻辑关系，样本空间等，你们在自己的学习过程中自主体会总结就行了。