李沐《动手学深度学习》 | 数值稳定性

数值稳定性

当神经网络的深度比较深时，非常容易数值不稳定。

不稳定梯度是指神经网络反向传播过程中，梯度出现极端数值的现象。

假设有一个d层的神经网络，每一层的变化定义为$f_t$，该变换的权重参数为$W^{(t)}$，将第t-1层的输出$h^{t-1}$作为输入传到第t层$f_t$得到第t层的输出$h^t=f_t(h^{t-1})$。

计算损失关于参数$W_t$的梯度，从第d层反向传播到第t层会进行d-t次的矩阵乘法，会带来两个常见的问题①梯度爆炸 ②梯度消失

梯度消失

梯度消失：参数更新过小，在每次更新时几乎不会移动，导致模型无法学习。

若每层的局部梯度 $\mid \frac{\partial h^d}{\partial h^{d-1}}\mid <1$，梯度会指数级衰减。

梯度消失的问题

• 底层参数几乎不更新：$\Delta w\approx 0$
• 训练停滞：损失函数长期不下降，不管如何选择学习了率
• 底层无法学习有效特征，仅顶部层训练较好，无法让神经网络更深。

梯度反向传播从顶部开始往底部传，传到后面梯度越来越小，学习效果越来越差。

Sigmoid作为激活函数

$\sigma (x)=\frac{1}{1+e^{-x}}，{\sigma }^{\prime }(x)=\sigma (x)(1-\sigma (x))$

案例说明

对于第 $l$ 层的前向传播流程

1. 接收输入：$z^{[l-1]}$
2. 线性变换：$a^{[l]}=W^{[l]}{z}^{[l-1]}+b^{[l]}$
3. 激活函数：$z^{[l]}=\sigma (a^{[l]})$

现在需要通过反向传播计算$\frac{\partial L}{\partial W[l]}$

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激****活函数可能会梯度消失

即使只是某一层输入接近 0（梯度最大为 0.25），在深层网络中梯度仍需连续相乘：0.25 × 0.25 × ... × 0.25 → 指数衰减趋近于 0。说明只要任意一层的输入在梯度不敏感区，其后所有层的梯度被清零。

要求所有层输入值都精准的落在[-2,2]梯度敏感区间，且初始化必去完美，这在实践中几乎不可能。

这个问题曾经困扰深度网络训练，后来更稳定的ReLU系列函数已经成为从业者的默认选择。

梯度爆炸

梯度爆炸：梯度爆炸是指在深度神经网络的反向传播过程中，梯度值变得异常巨大（通常是指数级增长），导致参数更新幅度过大，破坏模型稳定性的现象。

若每层的局部梯度 $\mid \frac{\partial h^d}{\partial h^{d-1}}\mid >1$，梯度会指数级增长。

梯度爆炸的问题

• 发生数值溢出：梯度值超过浮点数表示范围（NaN 值）
• 对学习率敏感$w_{new}=w-\eta \cdot \nabla w$，其中$\nabla w$ 极大
  • 如果学习率太大-> 大参数值->更大的梯度
  • 如果学习率太小-> 训练无法进展
  • 需要再训练过程不断调整学习率
• 模型震荡发散：损失函数剧烈波动，无法收敛

让训练更加稳定

目标：让梯度值在合理的范围内

常见缓解方法

1. 将乘法变为加法 CNN常用ResNet、RNN常用LSTM(之后内容)
2. 梯度归一化，梯度裁剪(之后内容)
3. 合理的权重初始和激活函数(本章内容)

合理的权重初始化

如果想减少权重的值，初始化就应该将其设为较小值。

神经网络权重常用初始化weights = np.random.randn(样本数, 特征数) * 0.01

生成一个二维数组，包含样本数*特征数个随机数，每个元素都是从标准正态分布 $N(0,1)$ 中独立抽取的样本。最后为了避免初始值过大导致梯度爆炸，将每个元素值缩小100倍。

问题：可以将权重初始化设置为0吗？

解答：不希望将权重初始化为相同的值，在反向传播中，所有的权重都会进行相同的更新。相当于只有一个神经元在工作。为了防止权重均一化，必须随机生成初始值。

结论：权重必须随机生成初始值。

核心目标：我们希望各层的激活值(激活函数的输出数据)的分布有适当的广度，因为通过在各层间传递多样性的数据，神经网络可以进行高效的学习。

• 初始化权重：通过初始化权重实现，各层的激活分布会有适当的广度
• Batch Normalization：为了使各层拥有适当的广度，强制性调整激活值得分布

Xavier初始化（常用）

思路：通过调整权重的初始范围，使得每一层输出的方差保持一致，从而避免梯度消失或爆炸。

目标：保持前向传播时激活值的方差和反向传播时梯度的方差尽可能稳定。

这里的$n_{in}$表示前一层的神经元数量(当前层的输入)，$n_{out}$表示当前层的神经元数量(当前层的输出)

• 初始化的权重值从均与分布中采样，范围为$(-\sqrt{\frac{6}{n_{in}+n_{out}}},\sqrt{\frac{6}{n_{in}+n_{out}}})$
• 初始化的权重值从高斯分布中采样，范围为$(0,\sqrt{\frac{2}{n_{in}+n_{out}}})$

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适用范围

激活函数在0点附近具有对称性(并不严格对称，而是保证正负信号均衡处理)，且在0点附近呈线性，比如 sigmoid、tanh、softsign 等。

He初始化/Kaiming方法

思路：通过调整权重的初始范围，使得每一层输出的方差保持一致，从而避免梯度消失或爆炸。

这里的$n_{in}$表示前一层的神经元数量(当前层的输入)，$n_{out}$表示当前层的神经元数量(当前层的输出)

• 初始化的权重值从均与分布中采样，范围为$(-\sqrt{\frac{6}{n_{in}}},\sqrt{\frac{6}{n_{in}}})$
• 初始化的权重值从高斯分布中采样，范围为$(0,\sqrt{\frac{2}{n_{in}}})$

适用场景：ReLU函数

ReLU 函数会将大约一半的神经元输出设为零，因此需要更大的初始值来补偿这部分衰减。

Batch Normalization

思路：调整各层的激活值分布使其拥有适当的广度

做法：在神经网络中插入对数据分布进行正规化的层(Batch Normalization层)

算法

1. 对mini=batch m个输入数据的集合 B = { x 1 , x 2 , . . . , x m } B=\{x_1,x_2,...,x_m\} B={x1​,x2​,...,xm​}进行均值为0，方差为1(或者其他合适的分布)的正规化，通常将这个处理插入到激活函数的前面(后面)，可以较小数据分布的偏向。

均值：${\mu }_B=\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m{x}_i$，方差：${\sigma }_B^2=\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m(x_i-{\mu }_B{)}^2$，归一化${\hat{x}}_i=\frac{(x_i-{\mu }_B)}{{\sqrt{\sigma }}_B^2+\epsilon }$

这里$\epsilon$是一个微小值(数值稳定性因子)，目的是防止出现除以0的情况。

2. Batch Norm层会对正规化后的数据进行缩放和平移变换$y_i=\gamma {\hat{x}}_i+\beta$

一开始$\gamma =1,\beta =0$，再通过学习调整到合适的值。

几乎所有的情况下都是使用Batch Norm时学习得更快，再不适用Batch Norm得情况下，如果赋予一个尺度好的初始值，学习将完全无法进行。

通过使用Batch Norm可以推动学习的进行，对权重初始化变得健壮(不那么依赖)。

Q&A

问题：如果在训练得过程中出现nan，时发生了梯度爆炸吗？

回答：一般是梯度爆炸导致的。

问题：梯度消失可以说是因为使用了sigmoid激活函数引起的吗？可以用ReLU替换sigmoid解决梯度消失问题吗？

回答：sigmoid容易引起梯度消失，梯度消失可能由其他原因产生的。使用ReLU可以让梯度消失的概率降低。

问题：梯度爆炸由什么激活函数引起

回答：一般梯度爆炸不是由激活函数(比较平滑)引起的，梯度爆炸一般是每个层的输出太大。

问题：强制使得每一层的输出特征均值为0，方差为1，是不是损失了网络的表达能力，改变了数据的特征？会降低学到的模型的准确度。

回答：数值是一个区间，在深度学习中数值范围本身并不承载语义信息，而是表达相对关系的方式。放缩都没关系，这个区间只是适合硬件。