振动力学：无阻尼单自由度系统

单自由度振动系统是最简单的一类振动系统，仅用一个坐标就可描述。从力学角度分析，一个实际的振动系统可由三个元件组成：惯性质量、弹性、阻尼,，它们分别描述系统的惯性、弹性、能耗机制。惯性元件是运动的实体，弹性元件提供振动回复力，阻尼元件在振动过程中消耗或吸收外界能量。

1. 单自由度系统振动方程

任何具有惯性和弹性的系统均可产生振动，单自由度系统是对这种系统的高度抽象概括。例如升降机吊篮、列车的一节车厢、高楼的一层、弹性体中的某点在某方向的振动，均可用单自由度系统振动模型描述，如图1所示。
惯性质量、弹性元件、阻尼元件的三个参数分别为：质量$m$、刚度$k$、粘性阻尼系数$c$。特别地，采用线性阻尼可使运动方程得到简化，假设阻尼力与阻尼元件两端的速度成正比，即阻尼力 = $c\dot{u}(t)$。

图1 单自由度系统振动模型

以质量元件在平衡位置的坐标为坐标原点$O$，对质量元件进行受力分析，根据牛顿第二定律可得：
$$m\ddot{u}(t)=-k\left[u(t)+{\delta }_s\right]-c\dot{u}(t)+mg+f(t)(1.1)$$

另一方面，根据静力平衡：
$$mg=k{\delta }_s$$

于是式(1.1)进一步写为：
$$m\ddot{u}(t)+c\dot{u}(t)+ku(t)=f(t)(1.3)$$

式中$f(t)$和${\delta }_s$分别表示外力（方向设为与重力方向相同）和处于初始状态时的弹性体伸长量。

这就是单自由度系统振动方程的一般形式。它是二阶常系数线性非齐次微分方程。

若不受外力作用，则$f(t)=0$，于是单自由度系统自由振动方程为：
$$m\ddot{u}(t)+c\dot{u}(t)+ku(t)=0(1.4)$$

进一步，若$c=0$，无阻尼自由振动方程为：
$$m\ddot{u}(t)+ku(t)=0(1.5)$$

2. 无阻尼单自由度振动：特征解和通解

式(1.5)是单自由度振动最简单的方程，根据微分方程知识，其解有如下形式：
$$u(t)=\bar{u}{\mathrm{e}}^{st}$$

式中，$\bar{u}$和$s$为常量。将上式代入式(1.5)，得到：
$$(m{s}^2+k)\bar{u}=0$$

若系统存在非零解（即振动位移不为零），则满足条件：
$$m{s}^2+k=0(2.4)$$

式(2.4)以$s$为变量，称为特征方程，它的解$s_{1,2}=\pm j{\omega }_{\mathrm{n}}$称为特征根。系统的固有圆频率，简称为固有频率，定义为：
$${\omega }_{\mathrm{n}}=\sqrt{\frac{k}{m}}(2.5)$$

式中，各变量的单位为$k=[N/m],\mathrm{m}=[\mathrm{kg}],{\omega }_{\mathrm{n}}=[rad/s]$。

方程(1.5)有两个特征解，即为${\bar{u}}_1{\mathrm{e}}^{s_{1}t},{\bar{u}}_2{\mathrm{e}}^{s_{2}t}$，根据线性系统叠加原理，通解为两个特征解的线性叠加：
$$u(t)$$