任意函数都有原像
任意函数都有原像（preimage），这是函数定义的一部分。原像是一个永远存在的运算，它不依赖于函数是否可逆、是否单射或满射。
1. 原像的定义
对于任意函数 ( f:X→Yf: X \to Yf:X→Y ) 和任意子集 ( B⊆YB \subseteq YB⊆Y )（无论 ( B ) 是否在 ( f ) 的值域内），原像 ( f−1(B)f^{-1}(B)f−1(B) ) 被定义为：
f−1(B)={x∈X∣f(x)∈B}f^{-1}(B) = \{ x \in X \mid f(x) \in B \}f−1(B)={x∈X∣f(x)∈B}
这个定义对任何函数和任何子集都适用。它只回答一个问题：“哪些输入 ( x ) 被 ( f ) 映射到了集合 ( B ) 中？”
2. 为什么原像总是存在？
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即使 ( B ) 与值域不相交：
如果 ( B ) 中的元素都没有原像（即 ( B∩f(X)=∅B \cap f(X) = \varnothingB∩f(X)=∅ )），那么根据定义，( f−1(B)=∅f^{-1}(B) = \varnothingf−1(B)=∅ )（空集）。
例如：( KaTeX parse error: Can't use function '\)' in math mode at position 12: f(x) = x^2 \̲)̲, \( B = \{-1, … )，则 ( f−1(B)=∅f^{-1}(B) = \varnothingf−1(B)=∅ )。 -
即使 ( f ) 不是单射：
如果多个 ( x ) 映射到同一个 ( y∈By \in By∈B )，那么所有这些 ( x ) 都属于 ( f−1(B)f^{-1}(B)f−1(B) )。
例如：( f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2 ), ( B={4}B = \{4\}B={4} )，则 ( f−1(B)={−2,2}f^{-1}(B) = \{-2, 2\}f−1(B)={−2,2} )。 -
即使 ( f ) 不是满射：
只要 ( B ) 中有元素在值域内，这些元素的原像就非空；如果不在，原像就是空集。
例如：( f(x)=exf(x) = e^xf(x)=ex ), ( B={−1}B = \{-1\}B={−1} )，则 ( f−1(B)=∅f^{-1}(B) = \varnothingf−1(B)=∅ )。
3. 原像与反函数的区别（关键！）
| 原像 (Preimage) | 反函数 (Inverse Function) |
|---|---|
| 输入是一个集合 ( B⊆YB \subseteq YB⊆Y )，输出是一个集合 ( f−1(B)⊆Xf^{-1}(B) \subseteq Xf−1(B)⊆X )。 | 输入是一个元素 ( y \in Y )，输出是一个元素 ( x∈Xx \in Xx∈X )（如果存在）。 |
| 永远存在，对任意函数 ( f ) 和任意子集 ( B ) 都有定义。 | 仅当 ( f ) 是双射（一一对应）时才存在。 |
| 是一个集合映射。 | 是一个函数。 |
例如：
函数 ( f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}f:R→R ) 定义为 ( f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2 )：
- 原像：( f−1({4,9})={−2,2,−3,3}f^{-1}(\{4, 9\}) = \{-2, 2, -3, 3\}f−1({4,9})={−2,2,−3,3} )（总是存在）。
- 反函数：不存在，因为 ( f ) 不是单射（也不是满射，如果陪域是 ( R\mathbb{R}R )）。
4. 原像总是有意义的运算
正因为原像永远存在，所以它在数学中极其有用：
- 可测函数：定义要求对每个可测集 ( B )，原像 ( f−1(B)f^{-1}(B)f−1(B) ) 也可测。
- 连续函数：定义要求对每个开集 ( U )，原像 ( f−1(U)f^{-1}(U)f−1(U) ) 也是开集。
- 概率论：随机变量 ( X ) 是一个函数，事件 ( {X∈B}\{X \in B\}{X∈B} ) 就是原像 ( X−1(B)X^{-1}(B)X−1(B) )。
结论
故，任意函数都有原像。原像是一个基于函数定义必然存在的集合运算，它不要求函数具有任何额外的性质（如可逆性）。而反函数的存在则要求函数是双射，这是一个强得多的条件。
原像是一个对任何函数都普遍有效的概念。