求定积分常用技巧

求定积分是微积分中的重要内容，掌握一些常用技巧可以大大简化计算过程。以下是几种常用的定积分技巧，按难度和应用场景分类整理，并配有示例：

---

1. 直接应用牛顿-莱布尼茨公式

适用场景：被积函数的原函数容易求出。
步骤：先求不定积分，再代入上下限计算差值。
示例：
$${\int }_0^1{x}^{2}dx={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}$$

---

2. 换元法（变量替换）

适用场景：被积函数含复合函数或可通过换元简化。
关键：换元后需同步调整积分限，无需回代原变量。
示例：
$${\int }_0^{\pi /2}\sin x\cos xdx$$
令 $u=\sin x$，则 $du=\cos xdx$。
当 $x=0$，$u=0$；当 $x=\pi /2$，$u=1$。
$${\int }_0^{1}udu={\left[\frac{u^2}{2}\right]}_0^1=\frac{1}{2}$$

---

3. 分部积分法

适用场景：被积函数为两函数乘积（如多项式×指数/三角函数）。
公式：
$${\int }_a^{b}udv=[uv{]}_a^b-{\int }_a^{b}vdu$$
示例：
$${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx$$
设 $u=x$，$dv=e^{x}dx$，则 $du=dx$，$v=e^x$。
$$[x{e}^x{]}_0^1-{\int }_0^1{e}^{x}dx=(e-0)-(e^1-e^0)=1$$

---

4. 利用对称性（奇偶函数）

适用场景：积分区间关于原点对称（如 $[-a,a]$）。

• 偶函数（$f(-x)=f(x)$）：
  $${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$$
• 奇函数（$f(-x)=-f(x)$）：
  $${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$$
  示例：
  $${\int }_{-1}^1{x}^3\cos xdx=0(\text{被积函数为奇函数})$$

---

5. 周期函数的积分

适用场景：被积函数为周期函数（如三角函数）。
性质：
$${\int }_a^{a+T}f(x)dx={\int }_0^{T}f(x)dx(T\text{为周期})$$
示例：
$${\int }_{\pi }^{3\pi }\sin xdx={\int }_0^{2\pi }\sin xdx=0$$

---

6. 区间再现公式

适用场景：积分区间对称或需巧妙换元。
公式：
$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(a+b-x)dx$$
示例：
$$I={\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx$$
令 $x=\frac{\pi }{2}-t$，则：
$$I={\int }_0^{\pi /2}\frac{\cos t}{\sin t+\cos t}dt$$
两式相加得：
$$2I={\int }_0^{\pi /2}1dx=\frac{\pi }{2}⟹I=\frac{\pi }{4}$$

---

7. 利用几何意义

适用场景：被积函数图像为规则图形（如圆、三角形）。
示例：
$${\int }_{-1}^1\sqrt{1-x^2}dx=\frac{\pi }{2}(\text{单位半圆面积})$$

---

8. 特殊函数积分

适用场景：含绝对值、分段函数或特殊定义。
示例：
$${\int }_{-1}^2|x|dx={\int }_{-1}^0(-x)dx+{\int }_0^{2}xdx=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$$

---

9. 递推公式

适用场景：被积函数含高次幂（如 ${\sin }^{n}x$、${\ln }^{n}x$）。
示例：
设 $I_n={\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}xdx$，则递推公式为：
$$I_n=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2},I_0=\frac{\pi }{2},I_1=1$$

---

10. 综合技巧：拆分与组合

适用场景：复杂积分拆分为简单部分。
示例：
$${\int }_0^1\frac{x^4+1}{x^2+1}dx={\int }_0^1\left(x^2-1+\frac{2}{x^2+1}\right)dx={\left[\frac{x^3}{3}-x+2\arctan x\right]}_0^1=\frac{1}{3}-1+\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}-\frac{2}{3}$$

---

总结表

技巧名称	适用场景	关键操作
牛顿-莱布尼茨	原函数易求	直接计算 $F(b)-F(a)$
换元法	含复合函数	换元并调整积分限
分部积分	乘积函数	选择 $u$ 和 $dv$
奇偶性	对称区间	利用 $f(-x)=\pm f(x)$
几何意义	规则图形	转化为面积/体积