复变函数极限介绍与MATLAB演示

复变函数极限介绍与MATLAB演示

复变函数的极限是复分析中的基本概念，与实变函数极限类似但有其独特性质。下面我将介绍复变函数极限的概念，并提供MATLAB演示案例。

复变函数极限的定义

设函数 $f(z)$ 在点 $z_0$ 的某个去心邻域内有定义，如果存在复数 $L$，使得对于任意 $ϵ>0$，存在 $\delta >0$，当 $0<|z-z_0|<\delta$ 时，有 $|f(z)-L|<ϵ$，则称 $f(z)$ 当 $z$ 趋近于 $z_0$ 时的极限为 $L$，记作：
$$\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)=L$$

复变函数极限的特性

路径无关性：复变函数极限要求从所有路径趋近于 $z_0$ 时极限都相同

MATLAB演示案例

案例1：简单多项式函数$z^2$的极限

$$\underset{z\to 1+i}{\lim }{z}^2$$
思路：设置沿着各个方位趋向$1+i$的路径，计算路径上各个点的复变函数值，观察最终的趋势

% 定义函数 f(z) = z^2
f = @(z) z.^2;
% 趋近点
z0 = 1 + 1i;
% 创建不同方向的趋近路径
theta = linspace(0, 2*pi, 20); % 20个不同角度方向
r = logspace(-1, -10, 100);     % 半径从0.1到1e-10递减
% 计算并绘制极限
figure;
subplot(1, 2, 1);
hold on
for k = 1:length(theta)z = z0 + r * exp(1i*theta(k)); % 从不同方向趋近z0plot(real(z), imag(z), 'LineWidth', 1.5); % 实部
end
xlabel('Re(z)'); ylabel('Im(z)');
title('自变量z靠近1+i的不同路径');
axis equal
hold offsubplot(1, 2, 2);
hold on
for k = 1:length(theta)z = z0 + r * exp(1i*theta(k)); % 从不同方向趋近z0fz = f(z);plot(real(fz), imag(fz), 'LineWidth', 1.5); % 实部  
end
% 理论极限值
L = f(z0);
plot(real(L), imag(L), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
xlabel('Re(z)'); ylabel('Im(z)');
title('复变函数值的收敛过程');
axis equal

运行结果：

案例2：不连续函数 $\overline{z}/z$ 的极限（路径依赖性）

$$\underset{z\to 0}{\lim }\overline{z}/z$$
思路：设置沿着各个方位趋向0的路径，计算路径上各个点的复变函数值，观察最终的趋势，该复变函数各个方位的极限值均不同

% 定义函数 f(z) = conj(z)/z (z≠0)
f = @(z) conj(z)./z;% 趋近点
z0 = 0;% 创建不同方向的趋近路径
theta = linspace(0, 2*pi, 20); % 8个不同角度方向
r = logspace(-1, -10, 100);   % 半径从0.1到1e-10递减% 创建图形窗口
figure;% 第一个子图：绘制轨迹图
subplot(1, 2, 1);  
hold on;
for k = 1:length(theta)z = r * exp(1i*theta(k)); % 从不同方向趋近0fz = f(z);plot(real(z), imag(z), 'LineWidth', 1.5);end
xlabel('Re(z)'); ylabel('Im(z)');
title('自变量z靠近0的不同路径')
grid on; 
axis equal
hold off;% 第二个子图：显示不同路径的极限值
subplot(1, 2, 2);
hold on
L_values = zeros(1, length(theta));  % 用来存储极限值
for k = 1:length(theta)z = r * exp(1i*theta(k)); % 从不同方向趋近0fz = f(z);plot(real(fz), imag(fz), 'o','LineWidth', 1.5);
end
title('不同路径的极限值');
xlabel('Re(z)'); ylabel('Im(z)');
axis equal

运行结果：

分析：每个方位上的点都被映射到单位原上的对应方位

结论

通过这些MATLAB演示，我们可以观察到：

1. 对于全纯函数（如 $z^2$），无论从哪个路径趋近，极限都相同
2. 对于非全纯函数（如 $\overline{z}/z$），极限依赖于趋近路径

复变函数的极限概念是理解解析函数、留数定理等复分析重要概念的基础，路径无关性是复变函数可微性的关键特征。