四元素、旋转矩阵与旋转向量

算法

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摘要

本文介绍了三种表示三维空间旋转的方法：旋转矩阵、Rodrigue旋转向量和四元素。旋转矩阵通过绕X、Y、Z轴（分别对应俯仰角、偏航角、翻滚角）的乘积构建正交矩阵；Rodrigue旋转向量用旋转轴和角度表示旋转，并推导了旋转向量到矩阵的转换公式；四元素作为复数域的扩展，通过实部和虚部描述旋转。文章还提供了相关参考链接，为读者深入学习提供了资源。这三种方法各有特点，在计算机视觉和机器人领域有广泛应用。

旋转矩阵

1、坐标系绕X轴旋转ϕ \phiϕ角（Pitch 俯仰角）

2、坐标系绕Y轴旋转θ \thetaθ角（Yaw 偏航角

3、坐标系绕Z轴旋转ψ \psiψ角（Roll 翻滚角）

整个坐标系的旋转矩阵是绕各个轴旋转的旋转矩阵的乘积。

旋转矩阵必须是正交的。

Rodrigue旋转向量

设旋转向量的单位向量为(旋转轴),模为 θ （旋转角），三维点 p 在旋转向量 r 的作用下变成p ′ ：

旋转向量转旋转矩阵：

其中

四元素

四元素是三维复数域，可表示为Q=[x,y,z,w]或Q=w+xi+yj+z*k,其中w是实部，[x,y,z]是虚部，[i,j,k]是虚轴，四元数是单位向量。描述了旋转轴r =
和角θ \thetaθ，对应的四元数为：

两个四元素叉乘的物理含义：先绕第一个四元素旋转，再绕第二个旋转。

参考链接

https://blog.csdn.net/tchenjiant/article/details/51485745
https://blog.csdn.net/hongbin_xu/article/details/78929006
https://zhuanlan.zhihu.com/p/93563218