全微分证明 链式法则 乘法法则 除法法则

$$z=f(u(x,y),v(x,y))$$

的全微分（Total Differential）、链式法则（Chain Rule），以及它在涉及乘法法则和除法法则下的应用。

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🧠 一、函数背景

你给出的函数是一个复合函数：

• 外层函数：$z=f(u,v)$
• 内层函数：$u=u(x,y),v=v(x,y)$

也就是说，$z$ 是 $x,y$ 的间接函数。

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📘 二、链式法则（Chain Rule）

对于复合函数 $z=f(u(x,y),v(x,y))$，我们求其相对于 $x$ 和 $y$ 的偏导时，应用链式法则：

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}$$

$$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial y}$$

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📗 三、全微分公式（Total Differential）

全微分 $dz$ 是表示函数小变化的线性近似。由链式法则导出：

$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$$

代入链式法则的结果：

$$dz=\left(\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}\right)dx+\left(\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial y}\right)dy$$

也可以整理成：

$$dz=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot du+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot dv$$

$$\text{其中：}du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy,dv=\frac{\partial v}{\partial x}dx+\frac{\partial v}{\partial y}dy$$

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📘 全微分证明

根据全微分定义：

$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$$

把上面链式法则中的偏导数代入：

$$dz=\left(\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}\right)dx+\left(\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial y}\right)dy$$

整理得：

$$dz=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \left(\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy\right)+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot \left(\frac{\partial v}{\partial x}dx+\frac{\partial v}{\partial y}dy\right)$$

注意：

$$du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy,dv=\frac{\partial v}{\partial x}dx+\frac{\partial v}{\partial y}dy$$

所以：

$$\boxed{dz=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot du+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot dv}$$

✅ 全微分公式得证。

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📗 三、乘法法则的推导（复合乘积函数）

设：

$$z=f(u,v)=u(x,y)\cdot v(x,y)$$

直接对 $x$ 求偏导：

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial (uv)}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}\cdot v+u\cdot \frac{\partial v}{\partial x}$$

这其实也是链式法则的一个特例，因为：

• $f(u,v)=u\cdot v$
• 所以 $\frac{\partial f}{\partial u}=v$, $\frac{\partial f}{\partial v}=u$

所以由链式法则：

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}=v\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+u\cdot \frac{\partial v}{\partial x}$$

全微分：

$$dz=v\cdot du+u\cdot dv$$

✅ 乘法法则得证。

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📕 四、除法法则的推导

设：

$$z=f(u,v)=\frac{u(x,y)}{v(x,y)}$$

对 $x$ 求偏导：

使用商法则（Quotient Rule）：

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{v\cdot \frac{\partial u}{\partial x}-u\cdot \frac{\partial v}{\partial x}}{v^2}$$

这个可以从链式法则推导：

• $f(u,v)=\frac{u}{v}\Rightarrow \frac{\partial f}{\partial u}=\frac{1}{v},\frac{\partial f}{\partial v}=-\frac{u}{v^2}$
• 所以：

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{v}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}-\frac{u}{v^2}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}$$

全微分：

$$dz=\frac{1}{v}\cdot du-\frac{u}{v^2}\cdot dv=\frac{v\cdot du-u\cdot dv}{v^2}$$

✅ 除法法则得证。

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✅ 总结表格

类型	表达式	导数/微分公式
链式法则	$z=f(u(x,y),v(x,y))$	$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$
全微分	同上	$dz=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot du+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot dv$
乘法法则	$z=u\cdot v$	$dz=v\cdot du+u\cdot dv$
除法法则	$z=\frac{u}{v}$	$dz=\frac{v\cdot du-u\cdot dv}{v^2}$

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