统计学（第8版）——假设检验学习笔记（考试用）
一、假设检验核心框架
（一）解决的核心问题
- 判断样本与总体 / 样本与样本的差异是由抽样误差还是本质差异引起
- 典型场景：
- 产品合格率是否达标（比例检验）
- 工艺改进后均值是否显著变化（均值检验）
- 两生产线方差是否一致（方差检验）
（二）与参数估计的本质区别
| 对比维度 | 参数估计 | 假设检验 |
| 目标 | 用样本估计总体参数范围 | 检验关于总体参数的假设 |
| 逻辑起点 | 未知参数需估计 | 先对参数提出假设 |
| 输出形式 | 置信区间 | 拒绝 / 不拒绝原假设 |
二、假设检验基本原理（核心逻辑）
（一）小概率反证法三步曲
- 假设成立：先假定原假设 H₀为真
- 推导矛盾：计算在 H₀成立的条件下，样本数据出现的概率
- 决策规则：
- 若概率≤α（小概率事件）：拒绝 H₀（反证法证明 H₀不成立）
- 若概率 >α：不拒绝 H₀（证据不足，无法推翻 H₀）
（二）两类错误的数学定义
| 错误类型 | 符号 | 定义 | 概率控制 | 典型场景 |
| 第一类错误 | α | H₀为真时拒绝 H₀（弃真） | 主动设定 α=0.05/0.01 | 医疗误诊（α 需严格控制） |
| 第二类错误 | β | H₀为假时接受 H₀（取伪） | 通过增大 n 降低 β | 质量检验漏检（β 需控制） |
（三）α 与 β 的关系公式
- 数学关系：固定 n 时，α↓→β↑，α↑→β↓（翘翘板效应）
- 突破方法：增大样本量 n 可同时减小 α 和 β
三、假设检验标准流程（含公式条件）
（一）六步执行法
- 提出假设：
- 双侧：H₀:μ=μ₀ vs H₁:μ≠μ₀
- 右侧：H₀:μ≤μ₀ vs H₁:μ>μ₀（如检验 “显著提高”）
- 左侧：H₀:μ≥μ₀ vs H₁:μ<μ₀（如检验 “显著降低”）
- 选择统计量：核心依据 4 要素
- 参数类型：均值 / 比例 / 方差
- 样本量：大样本 (n≥30)/ 小样本 (n<30)
- 总体分布：正态 / 非正态（非正态大样本可用正态近似）
- 方差已知性：σ 已知 /σ 未知
- 计算统计量值：代入样本数据计算
- 确定拒绝域：根据 α 和检验类型（双侧 / 单侧）查表
- 计算 p 值（可选）：原假设为真时，出现当前或更极端结果的概率
- 决策：
- 临界值法：统计量落入拒绝域→拒绝 H₀
- p 值法：p<α→拒绝 H₀
（二）统计量公式及适用条件汇总表
四、核心知识点详解
（一）单总体均值检验（关键：区分大 / 小样本、方差已知性）
五、公式条件速查表（考试重点）
| 统计量 | 分布 | 必要条件 |
| Z（均值） | N(0,1) | ① 正态 σ 已知；② 非正态 n≥30 |
| t（均值） | t(df) | 正态 σ 未知且 n<30 |
| Z（比例） | N(0,1) | np≥5 且 n (1-p)≥5 |
| χ²（方差） | χ²(df) | 正态总体 |
| F（方差比） | F(df1,df2) | 两正态总体 |
两类错误关系图
- 横轴：总体均值 μ
- 纵轴：检验统计量分布
- 左侧曲线：H₀为真时分布（μ=μ₀）
- 右侧曲线：H₁为真时分布（μ=μ₁<μ₀）
- α 区域：H₀为真时拒绝 H₀的面积（左侧尾部）
- β 区域：H₁为真时接受 H₀的面积（右侧非阴影区）