振动力学：二自由度系统

文章1、2、3中讨论的是单自由度系统的振动特性，自由度由一增加至二，将引起质变，带来一系列新的物理概念。本文首先从建立一般性的多自由度系统振动方程开始，然后讨论最简单的多自由度系统（即二自由度系统）的振动，包括固有振动和自由振动以及运动解耦。

1. 多自由度系统的振动方程

最简单直接的方法是使用Lagrange方程建立离散系统的运动方程（胡海岩，2005，P56-57），这种方法比刚度法和柔度法要简单且直接许多。

1.1 完整约束系统的Lagrange方程

根据经典力学的知识，完整约束系统的Lagrange方程为：
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_j}-\frac{\partial T}{\partial q_j}+\frac{\partial V}{\partial q_j}=f_j,(j,1,2,...,N)(2.30)$$

只要写出系统的能量（动能$T$和势能$V$），根据Lagrange方程就可导出运动微分方程。质点系的动能$T$可表示为：
$$T=\frac{1}{2}{\dot{\mathbf{q}}}^{\mathrm{T}}\mathbf{M}\dot{\mathbf{q}}$$
式中，$\mathbf{q}$为广义位移，$\dot{\mathbf{q}}$为广义速度，质量矩阵$\mathbf{M}$为对称阵，且为广义坐标的函数。质点系的势能矩阵形式为：
$$V=\frac{1}{2}{\mathbf{q}}^{\mathrm{T}}\mathbf{K}\mathbf{q}$$

式中，$\mathbf{K}$为刚度矩阵。

考虑更一般的情况，如果系统中存在线性阻尼力，可将它从广义力中分离（广义力的概念参考文章4的式(1.49)），引入耗散函数$D$：
$$D=\frac{1}{2}{\dot{\mathbf{q}}}^{\mathrm{T}}\mathbf{C}\dot{\mathbf{q}}$$

式中，$\mathbf{C}$为阻尼矩阵。于是，式(2.30)改写为：
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_j}-\frac{\partial T}{\partial q_j}+\frac{\partial D}{\partial {\dot{q}}_j}+\frac{\partial V}{\partial q_j}=f_j,(j,1,2,...,N)(2.30^{\prime })$$

1.2 质点系运动微分方程

根据胡海岩（2005），由Lagrange方程(2.30’)导出的运动微分方程矩阵形式为：
$$\begin{array}{rl}& \mathbf{M}\ddot{\mathbf{u}}(t)+\mathbf{C}\dot{\mathbf{u}}(t)+\mathbf{K}\mathbf{u}(t)=\mathbf{f}(t)\\ & \mathbf{u}(0)={\mathbf{u}}_0,\dot{\mathbf{u}}(0)={\dot{\mathbf{u}}}_0\end{array}(1.7)$$

式中，$\mathbf{M}$为质量矩阵，$\mathbf{C}$为阻尼矩阵，$\mathbf{K}$为刚度矩阵。$\mathbf{u}$为位移向量，$\mathbf{f}$为激振力向量。给定的初始条件为初始位移${\mathbf{u}}_0$和初始速度${\dot{\mathbf{u}}}_0$。矩阵和向量的阶数取决于系统自由度。

与单自由度系统相比（文章1的式(4.1)），描述系统的三个常特性参数$c,k,m$在式(1.7)中不再是常数而是矩阵：
m u ¨ ( t ) + c u ˙ ( t ) + k u ( t ) = 0 u ( 0 ) = u 0 ,      u ˙ ( 0 ) = u ˙ 0 ( 4.1 ) \begin{aligned} & m \ddot{u}(t) + c\dot{u}(t) +k u(t) = 0 \\ & u(0) = u_0, \;\; \dot{u}(0) = \dot{u}_0 \end{aligned} \qquad (4.1) ​mu¨(t)+cu˙(t)+ku(t)=0u(0)=u0<