数据结构-二叉搜索树/二叉排序树/二叉查找树

概述

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本文介绍数据结构–二叉搜索树

 

1. 二叉搜索树基本概念

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1.1 定义

二叉排序树（Binary Sort Tree），又称二叉查找树（Binary Search Tree），亦称二叉搜索树。。设x为二叉查找树中的一个节点，x节点包含关键字key，节点x的key值记为key[x]。如果y是x的左子树中的一个节点，则key[y] <= key[x]；如果y是x的右子树的一个节点，则key[y] >= key[x]。

1.2 性质

二叉搜索树，可以是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

1. 若左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值；
2. 若右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值；
3. 左、右子树也分别为二叉排序树；
4. 没有键值相等的节点。

2. 二叉搜索树相关操作

2.1 二叉搜索树创建

参考- 数据结构与算法——平衡二叉树
现有序列：A = {61, 87, 59, 47, 35, 73, 51, 98, 37, 93}。根据此序列构造二叉搜索树过程如下：
  （1）i = 0，A[0] = 61，节点61作为根节点；
  （2）i = 1，A[1] = 87，87 > 61，且节点61右孩子为空，故81为61节点的右孩子；
  （3）i = 2，A[2] = 59，59 < 61，且节点61左孩子为空，故59为61节点的左孩子；
  （4）i = 3，A[3] = 47，47 < 59，且节点59左孩子为空，故47为59节点的左孩子；
  （5）i = 4，A[4] = 35，35 < 47，且节点47左孩子为空，故35为47节点的左孩子；
  （6）i = 5，A[5] = 73，73 < 87，且节点87左孩子为空，故73为87节点的左孩子；
  （7）i = 6，A[6] = 51，47 < 51，且节点47右孩子为空，故51为47节点的右孩子；
  （8）i = 7，A[7] = 98，98 < 87，且节点87右孩子为空，故98为87节点的右孩子；
  （9）i = 8，A[8] = 93，93 < 98，且节点98左孩子为空，故93为98节点的左孩子；
 创建完毕后如图2.4中的二叉搜索树：
  

2.2 二叉搜索树查找

2.2.1 查找步骤

1. 如果树是空的，则查找不成功。
2. 若根结点的关键字值等于查找的关键字，成功。
3. 否则：
   2.1 若小于根结点的关键字值，递归查左子树。若子树为空，查找不成功。
   2.2 若大于根结点的关键字值，递归查右子树。若子树为空，查找不成功。

2.2.2 查找性能分析

每个结点的$C(i)$为该结点的层次数。

• 最坏情况下，当先后插入的关键字有序时，构成的二叉排序树蜕变为单支树，树的深度为其平均查找长度${}^{(n+1)}{/}_2$(和顺序查找相同）
• 最好的情况是二叉排序树的形态和折半查找的判定树相同，其平均查找长度和$lo{g}_2(n)$成正比。

查找算法代码：其实与二叉树递归遍历算法的思想是非常相似的。

    /* 递归查找二叉排序树T中是否存在key, *//* 指针f指向T的双亲，其初始调用值为NULL *//* 若查找成功，则指针p指向该数据元素节点，并返回TRUE *//* 否则指针p指向查找路径上访问的最后一个节点并返回FALSE */bool searchBST(BSTNode* T, int key, BSTNode* f, BSTNode **p){  if (!T) /*  查找不成功 */{ *p = f;  return false; }else if (key == T->key) /*  查找成功 */{ *p = T;  return true; } else if (key < T->key) return searchBST(T->lchild, key, T, p);  /*  在左子树中继续查找 */else  return searchBST(T->rchild, key, T, p);  /*  在右子树中继续查找 */}

使用二叉搜索树可以提高查找效率，其平均时间复杂度为$O(lo{g}_{2}n)$。

2.3 二叉搜索树插入

插入过程：

1. 先检测该元素是否在树中已经存在。如果已经存在，则不进行插入；
2. 若元素不存在，则进行查找过程，并将元素插入在查找结束的位置。
   
   

插入代码算法

    void insertBST(BSTNode **T,int key) //此处使用二重指针是因为要修改指针的指针{BSTNode *s;if(*T==NULL) //到达查找结束位置，再次位置插入元素{s = (BSTNode*)malloc(sizeof(BSTNode));s->key = key;s->lchild = NULL;s->rchild = NULL;*T=s;}else if(key<(*T)->key)//要插入的值大于当前节点，往左子树搜insertBST(&((*T)->lchild),key);else if(key>(*T)->key)//大于当前节点，往右子树搜insertBST(&((*T)->rchild),key);}

2.4 二叉搜索树的删除

在删除之前，首先需要找到此节点，针对不同的结点类型，进行删除不同的操作.

情况	删除方式
删除的节点为叶子节点	删除叶子节点的方式最为简单，只需查找到该节点，直接删除即可。
删除的节点只有左子树	删除的节点若只有左子树，将节点的左子树替代该节点位置。
删除的节点只有右子树	删除的节点若只有右子树，将节点的右子树替代该节点位置。
删除的节点既有左子树又有右子树	其流程如下：   （1）遍历待删除节点的左子树，找到其左子树中的最大key节点(最右下)，即删除节点的前驱节点；   （2）将最大节点代替被删除节点；   （3）删除左子树中的最大节点；   （4）左子树中待删除最大节点一定为叶子节点或者仅有左子树。按照之前情形删除即可。

对于左右子树都有的结点，可以采用中序遍历的方式来得到删除结点的前驱和后继结点。选取前驱结点或者后继结点代替删除结点即可。

例如要删除上图的47结点，删除后：

删除算法代码：

	// BSTNode* T是，我们通过前面的查找算法找到的结点，它不一定就是要删除的结点。// 因此，我盟在删除之前需要通过key是否相等，来判断，返回的结点，是不是要删除的结点。//若二叉排序树T中存在关键字等于key的数据元素时，则删除该数据元素节点//并返回TRUE；否则返回FALSE。bool deleteBST(BSTNode* T,int key){ if(!*T) /* 不存在关键字等于key的数据元素 */ return false;else{if (key == (*T)->key) /* 找到关键字等于key的数据元素 */ return deleteBSTNode(T);else if (key<(*T)->key)return deleteBST(&(*T)->lchild,key);elsereturn deleteBST(&(*T)->rchild,key);}}/* 从二叉排序树中删除节点p，并重接它的左或右子树。 */bool deleteBSTNode(BSTNode* p){BSTNode* q,s;if((*p)->rchild==NULL) //右子树空则只需重接它的左子树（待删节点是叶子也走此分支) {q=*p;*p=(*p)->lchild; free(q);}else if((*p)->lchild==NULL) //左子树为空，只需重接它的右子树{q=*p; *p=(*p)->rchild; free(q);}else //左右子树均不空{q=*p; s=(*p)->lchild;while(s->rchild) // 转到左子树，然后向右到尽头（找待删节点的前驱） */{q=s;s=s->rchild;}(*p)->key=s->key; //s指向被删节点的直接前驱（将被删节点前驱的值取代被删节点的值）if(q!=*p)q->rchild=s->lchild; //重接q的右子树elseq->lchild=s->lchild; //重接q的左子树free(s);}return TRUE;}