低秩矩阵、奇异值矩阵和正交矩阵
低秩矩阵
低秩矩阵（Low-rank Matrix）是指秩（rank）远小于其行数和列数的矩阵，即 r a n k ( M ) = r ≪ min ( m , n ) rank(M) = r \ll \min(m,n) rank(M)=r≪min(m,n)。其核心特点是信息冗余性，可通过少量独立基向量（奇异向量）近似表示整个矩阵，从而在数据压缩、去噪和补全等任务中发挥重要作用。
意义
矩阵乘法是大多数机器学习模型的核心计算瓶颈。为了降低计算复杂度，已经出现了许多方法对一组更高效的矩阵进行学习。这些矩阵被称为结构化矩阵，其参数数量和运行时间为次二次函数（对于 𝑛 维度，其参数数量和运行时间为 𝑜¹𝑛²º）。结构化矩阵最常见的例子是稀疏矩阵和低秩矩阵，以及信号处理中常见的快速变换（傅里叶变换、切比雪夫变换、正弦/余弦变换、正交多项式）。
核心概念
-
秩的定义
矩阵的秩表示其线性无关的行或列向量的最大数量。若矩阵 M ∈ R m × n M \in \mathbb{R}^{m \times n} M∈Rm×n 的秩为 r r r，则存在分解 M = U V T M = UV^T M=UVT，其中 U ∈ R m × r U \in \mathbb{R}^{m \times r} U∈Rm×r， V ∈ R n × r V \in \mathbb{R}^{n \times r} V∈Rn×r，参数总量从 m × n m \times n m×n 降至 ( m + n ) × r (m+n) \times r (m+n)×r。 -
SVD与低秩逼近
奇异值分解（SVD）将矩阵分解为 M = U Σ V T M = U\Sigma V^T M=UΣVT，其中 Σ \Sigma Σ 为奇异值矩阵。通过保留前 k k k 个最大奇异值（ k ≪ r k \ll r k≪r），可得到最优低秩近似 M k M_k Mk（Eckart-Young-Mirsky定理）。
应用场景
- 推荐系统
用户-物品评分矩阵通常低秩，通过矩阵分解（如SVD）挖掘潜在特征，预测缺失值。 - 图像处理
图像矩阵的低秩性可用于去噪（将噪声视为高秩扰动）或修复缺失像素。 - 深度学习微调
LoRA（Low-Rank Adaptation）通过低秩矩阵调整大模型参数，减少计算量。
示例说明
若矩阵 A = [ 1 2 3 2 4 6 3 6 9 ] A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9\end{bmatrix} A= 123246369 ，其秩为1，因为所有行均为第一行的倍数。此时 A A A 可表示为 U V T UV^T UVT（如 U = [ 1 , 2 , 3 ] T U = [1,2,3]^T U=[1,2,3]T， V = [ 1 , 2 , 3 ] V = [1,2,3] V=[1,2,3]）。
为什么重要？
- 计算效率：低秩分解降低存储和计算复杂度（如从 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 到 O ( n ) O(n) O(n)）。
- 鲁棒性：在噪声或缺失数据下仍能恢复主要结构。
奇异值矩阵
奇异值矩阵（Singular Value Matrix）是奇异值分解（SVD）中的核心组成部分，通常记为 Σ \Sigma Σ（或 S S S），它是一个对角矩阵，其对角线元素为矩阵的奇异值，按从大到小排列，其余元素为零。以下是详细解析：
1. 定义与数学形式
给定矩阵 A ∈ R m × n A \in \mathbb{R}^{m \times n} A∈Rm×n，其奇异值分解为：
A = U Σ V T A = U \Sigma V^T A=UΣVT
其中：
- U U U 是 m × m m \times m m×m 的正交矩阵（左奇异向量）。
- V V V 是 n × n n \times n n×n 的正交矩阵（右奇异向量）。
- Σ \Sigma Σ 是 m × n m \times n m×n 的对角矩阵，称为奇异值矩阵，其对角线元素 σ 1 ≥ σ 2 ≥ ⋯ ≥ σ r > 0 \sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \dots \geq \sigma_r > 0 σ1≥σ2≥⋯≥σr>0（ r = rank ( A ) r = \text{rank}(A) r=rank(A)）即为 A A A 的奇异值。
2. 奇异值的性质
- 非负性：奇异值 σ i \sigma_i σi 是非负实数，且唯一确定（即使 U U U 和 V V V 不唯一）。
- 与特征值的关系：奇异值是 A T A A^TA ATA 或 A A T AA^T AAT 的特征值的平方根。
- 矩阵秩：非零奇异值的个数等于矩阵 A A A 的秩。
3. 计算与示例
计算方法
- SVD分解：通过数值计算工具（如MATLAB的
svd或 Python的numpy.linalg.svd）直接求解。 - 特征值分解：先计算 A T A A^TA ATA 的特征值，再取平方根得到奇异值。
示例
若矩阵 A = [ 1 0 1 0 1 0 ] A = \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix} A=[100110]，其奇异值分解后 Σ \Sigma Σ 可能为：
Σ = [ 1.732 0 0 0 1 0 ] \Sigma = \begin{bmatrix}1.732 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix} Σ=[1.73200100]
其中奇异值为 1.732 1.732 1.732 和 1 1 1。
4. 应用场景
- 数据压缩：保留前 k k k 个奇异值（低秩近似）可减少存储和计算量（如PCA）。
- 图像去噪：较小的奇异值通常对应噪声，截断后可恢复清晰图像。
- 推荐系统：通过SVD分解用户-物品矩阵，提取潜在特征。
5. 几何意义
奇异值表示矩阵 A A A 在不同方向上的“缩放因子”。例如，在图像处理中，奇异值越大，对应的特征方向对图像的贡献越大。
总结
奇异值矩阵 Σ \Sigma Σ 是SVD的核心，其对角线元素（奇异值）揭示了矩阵的秩、稳定性及主要特征方向。通过控制奇异值的数量，可实现数据降维、去噪等高效操作。
正交矩阵
正交矩阵（Orthogonal Matrix）是线性代数中一类重要的实方阵，其核心特性是转置矩阵等于逆矩阵，即满足 Q T Q = Q Q T = I Q^T Q = Q Q^T = I QTQ=QQT=I（ I I I 为单位矩阵）。以下是其关键内容：
1. 定义与性质
- 定义：若 n × n n \times n n×n 实矩阵 Q Q Q 满足 Q T = Q − 1 Q^T = Q^{-1} QT=Q−1，则称 Q Q Q 为正交矩阵。
- 等价条件：
- 行（或列）向量组是标准正交基（两两正交且长度为1）。
- 保持向量内积不变： ( Q x , Q y ) = ( x , y ) (Qx, Qy) = (x, y) (Qx,Qy)=(x,y)，即保持几何长度和夹角。
- 行列式 ∣ Q ∣ = ± 1 |Q| = \pm 1 ∣Q∣=±1（ + 1 +1 +1 表示旋转， − 1 -1 −1 表示反射）。
2. 分类与例子
- 第一类正交矩阵： ∣ Q ∣ = 1 |Q| = 1 ∣Q∣=1，对应旋转变换（如二维旋转矩阵）：
Q = [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] Q = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} Q=[cosθsinθ−sinθcosθ] - 第二类正交矩阵： ∣ Q ∣ = − 1 |Q| = -1 ∣Q∣=−1，对应反射变换（如镜像矩阵）。
3. 应用领域
- 几何变换：用于旋转、反射等操作（如计算机图形学中的坐标变换）。
- 数据科学：主成分分析（PCA）中通过正交矩阵实现降维。
- 信号处理：离散傅里叶变换（DFT）的基函数构成正交矩阵。
- 量子计算：量子门操作对应酉矩阵（复数域的正交矩阵）。
4. 重要定理
- 谱分解定理：实对称矩阵可通过正交矩阵对角化，即 A = Q Λ Q T A = Q \Lambda Q^T A=QΛQT（ Λ \Lambda Λ 为对角矩阵）。
- QR分解：任意矩阵可分解为正交矩阵与上三角矩阵的乘积。
Python示例验证
import numpy as np
Q = np.array([[1/np.sqrt(2), 1/np.sqrt(2)], [-1/np.sqrt(2), 1/np.sqrt(2)]])
print("Q^T Q = \n", np.dot(Q.T, Q)) # 应输出单位矩阵
正交矩阵因其计算高效（逆即转置）和几何保形性，成为数学与工程领域的基石工具。