中级统计师-统计学基础知识-第七章 回归分析

第七章 时间序列分析 学习笔记

第一节 时间序列的基本形式

1. 时间序列的定义与分类

• 定义：按时间顺序记录的观测值序列，反映现象随时间变化的过程
• 分类：
  • 绝对数时间序列：
    • 时期序列（可加，如GDP季度数据）
    • 时点序列（不可加，如年末人口数）
  • 相对数时间序列（如年轻员工占比，不可加）
  • 平均数时间序列（如班级平均成绩序列）

2. 时间序列分析目的

• 建立时间序列模型（认识随机机制）
• 基于历史数据进行预测

---

第二节 时间序列的分析指标

1. 水平分析指标

（1）发展水平

• 定义：时间序列中各时期的观测值 ( y_t )
• 基期水平 vs 报告期水平

（2）增长量

• 逐期增长量：( y_t - y_{t-1} )
• 累计增长量：( y_t - y_0 )
• 关系：累计增长量 = 逐期增长量之和

（3）平均发展水平

• 时期序列：
  $$\bar{y}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{y}_i}{n}$$
• 时点序列：
  • 间隔相等：
    $$\bar{y}=\frac{\frac{y_1}{2}+y_2+\cdots +\frac{y_n}{2}}{n-1}$$
  • 间隔不等：
    $$\bar{y}=\frac{{\sum }_{i=1}^{n-1}\left(\frac{y_i+y_{i+1}}{2}\cdot f_i\right)}{{\sum }_{i=1}^{n-1}{f}_i}$$

（4）平均增长量

$$\text{平均增长量}=\frac{\text{累计增长量}}{n}=\frac{y_n-y_0}{n}$$

2. 速度分析指标

（1）发展速度

• 环比发展速度：( \frac{y_t}{y_{t-1}} )
• 定基发展速度：( \frac{y_t}{y_0} )
• 关系：环比发展速度连乘积 = 定基发展速度

（2）增长速度

• 环比增长速度 = 环比发展速度 - 1
• 定基增长速度 = 定基发展速度 - 1

（3）平均发展速度

• 几何平均法：
  $$\bar{x}=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n\frac{y_i}{y_{i-1}}}=\sqrt[n]{\frac{y_n}{y_0}}$$
• 平均增长速度：
  $$\text{平均增长速度}=\bar{x}-1$$

---

第三节 时间序列的探索性分析

• 核心方法：绘制时间序列图（横轴时间，纵轴观测值）
• 常见特征：
  • 趋势性（如航空旅客人数增长）
  • 季节性（如节假日周期性波动）
  • 随机波动

---

第四节 时间序列的分解

1. 分解模型

• 四要素：
  • 长期趋势（( T_t )）
  • 季节变动（( S_t )）
  • 循环变动（( C_t )，周期不固定）
  • 不规则变动（( I_t )）
• 简化模型：
  • 加法模型：
    $$Y_t=T_t+S_t+I_t$$
  • 乘法模型：
    $$Y_t=T_t\cdot S_t\cdot I_t$$
• 模型选择：
  • 季节波动幅度稳定 → 加法模型
  • 季节波动幅度随趋势扩大 → 乘法模型

---

第五节 趋势分析

1. 趋势拟合法

• 线性趋势模型：
  $$y_t=a+bt+I_t$$
• 非线性模型：
  • 指数模型：
    $$T_t=a\cdot b^t$$
  • 二次模型：
    $$T_t=a+bt+c{t}^2$$

2. 移动平均法

• n期简单移动平均：
  $${\tilde{y}}_t=\frac{1}{n}\sum _{i=0}^{n-1}{y}_{t-i}$$
• 应用原则：
  • 消除季节性 → 取周期长度（如月度数据取( n=12 )）
  • 平滑程度要求高 → 增大( n )

3. 指数平滑法

• 递推公式：
  $${\tilde{y}}_t=\alpha y_t+(1-\alpha ){\tilde{y}}_{t-1}$$
• 平滑系数( \alpha )：
  • ( \alpha \to 1 )，近期数据权重高（敏感度高）
  • 经验范围：( 0.1 \leq \alpha \leq 0.5 )

---

第六节 季节分析

1. 季节指数法（不考虑趋势）

• 步骤：
  1. 计算各年同月平均数 ( \bar{y}_i )
  2. 计算总平均数 ( \bar{y} )
  3. 季节指数：
     $$S_i=\frac{{\bar{y}}_i}{\bar{y}}$$

2. 季节指数法（考虑趋势）

• 步骤：
  1. 用回归模型拟合长期趋势 ( \hat{y}_t = a + b t )
  2. 剔除趋势：
     $$\frac{y_t}{{\hat{y}}_t}$$
  3. 对剔除趋势的序列计算季节指数

---

经典例题

例题1（时点序列判断）

【单选题】 属于时点序列的是（C）
A. 某高校科研经费到账额
B. 某企业利税额
C. 某地区年末人口数
D. 某地区粮食产量

解析：时点序列反映某一瞬间水平，不可加。

例题2（移动平均计算）

【单选题】 2018年三期移动平均值为（D）
数据：2015-2019年人均消费水平（元）为2000、2090、2200、2350、2560
A. 6640
B. 7110
C. 2213
D. 2370

解析：2018年移动平均值为：
$$\frac{2200+2350+2560}{3}=2370$$

---

总结对比表

指标/方法	核心公式/定义
平均发展水平	时期序列：( \sum y_i / n )；时点序列：加权平均法
平均增长速度	( \sqrt[n]{\frac{y_n}{y_0}} - 1 )
移动平均法	( \tilde{y}t = \frac{1}{n} \sum{i=0}^{n-1} y_{t-i} )
指数平滑法	( \tilde{y}t = \alpha y_t + (1-\alpha)\tilde{y}{t-1} )
季节指数	不考虑趋势：( S_i = \frac{\bar{y}_i}{\bar{y}} )；考虑趋势：先剔除趋势再计算