1.3 线性系统的时域分析法

引言

本文深度解析《自动控制原理》第三章核心知识点，系统梳理动态性能分析、稳定性判据、稳态误差计算三大模块，结合关键公式推导与典型例题分析框架，助力快速掌握时域分析法核心内容。

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考点一：动态性能分析

1. 一阶系统时域分析

单位阶跃响应

• 传递函数：
  $$\Phi (s)=\frac{1}{Ts+1}$$
• 阶跃响应表达式（输入$R(s)=\frac{1}{s}$时）：
  $$c(t)=1-e^{-t/T}$$
• 调节时间：
  $$t_s=3T(5\%\text{误差带}),t_s=4T(2\%\text{误差带})$$
• 响应曲线特性：
  在$t=T$时，响应值达到稳态值的63.2%；无超调，单调上升。
  

2. 二阶系统时域分析

2.1 标准传递函数

$$\Phi (s)=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$$

• 参数定义：
  • $\zeta$：阻尼比
  • ${\omega }_n$：无阻尼自然振荡频率
  • ${\omega }_d={\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}$：阻尼振荡频率

2.2 阻尼比$\zeta$对响应的影响

阻尼类型	根分布	响应特性
欠阻尼（$0<\zeta <1$）	共轭复根（实部负）	衰减振荡，超调存在
临界阻尼（$\zeta =1$）	重根（负实轴）	最快无超调响应
过阻尼（$\zeta >1$）	两不等负实根	响应缓慢无振荡
无阻尼（$\zeta =0$）	纯虚根	等幅振荡（临界稳定）

2.3 欠阻尼阶跃响应（$0<\zeta <1$）

$$c(t)=1-\frac{e^{-\zeta {\omega }_{n}t}}{\sqrt{1-{\zeta }^2}}\sin \left({\omega }_{d}t+\phi \right),\phi =\arctan \left(\frac{\sqrt{1-{\zeta }^2}}{\zeta }\right)$$

动态性能指标

$$\begin{array}{rl}\text{上升时间}& t_r=\frac{\pi -\beta }{{\omega }_d},\beta =\arccos \zeta \\ \text{峰值时间}& t_p=\frac{\pi }{{\omega }_d}\\ \text{超调量}& \sigma \%=e^{-\frac{\zeta \pi }{\sqrt{1-{\zeta }^2}}}\times 100\%\\ \text{调节时间}& t_s\approx \frac{3}{\zeta {\omega }_n}(5\%准则)\end{array}$$
其中 ${\omega }_d={\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}$ 为阻尼振荡频率。

3. 高阶系统时域分析

• 传递函数分解：
  高阶系统可分解为一阶惯性环节和二阶振荡环节的叠加：
  $$\Phi (s)=\sum _{j=1}^q\frac{A_j}{s+p_j}+\sum _{k=1}^r\frac{B_{k}s+C_k}{s^2+2{\zeta }_k{\omega }_{nk}s+{\omega }_{nk}^2}$$
• 主导极点原则：
  • 距虚轴距离最近且附近无闭环零点的极点主导系统动态特性；
  • 其他极点实部绝对值需大于主导极点实部的5倍以上。
• 偶极子：
  • 闭环零点与闭环极点非常接近，构成一对偶极子；偶极子可以近似对消。

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考点二：稳定性分析——劳斯判据（Routh Rules）

1. 系统稳定的充要条件

闭环系统特征根全部位于s左半平面；若存在虚轴根，则系统临界稳定。

2. 劳斯判据应用步骤

• 列写特征方程：
  $$D(s)=a_n{s}^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_0=0$$

• 构造劳斯表：
  $$\begin{array}{ccccc}{s}^n& a_n& a_{n-2}& a_{n-4}& \cdots \\ s^{n-1}& a_{n-1}& a_{n-3}& a_{n-5}& \cdots \\ s^{n-2}& b_1& b_2& b_3& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \\ s^0& h_1& & & \end{array}$$
  其中：
  $$b_1=\frac{a_{n-1}{a}_{n-2}-a_n{a}_{n-3}}{a_{n-1}},b_2=\frac{a_{n-1}{a}_{n-4}-a_n{a}_{n-5}}{a_{n-1}},\cdots$$

• 稳定性判定：

  • 劳斯表第一列元素全为正 → 系统稳定；
  • 第一列元素符号变化次数 = 右半平面极点个数。

3. 特殊情况处理

场景	处理方法
某行首元素为零	用极小量$\epsilon$代替零，分析$\epsilon \to 0^{+}$时的符号变化
某行全为零	用上一行构造辅助多项式$A(s)$，求导后继续填表

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考点三：稳态误差分析

1. 误差定义

定义方式	公式	物理意义
输入端误差	$E(s)=R(s)-H(s)C(s)$	输入信号与反馈信号的差值
输出端误差	$E^{\prime }(s)=R^{\prime }(s)-C(s)$	期望输出与实际输出的差值

2. 静态误差系数法

系统类型	位置误差系数 $K_p$	速度误差系数 $K_v$	加速度误差系数 $K_a$
0型系统	$K_p=K$	$K_v=0$	$K_a=0$
I型系统	$K_p=\infty$	$K_v=K$	$K_a=0$
II型系统	$K_p=\infty$	$K_v=\infty$	$K_a=K$

稳态误差公式

$$e_{ss}=\frac{1}{1+K_p}{r}_0+\frac{1}{K_v}{v}_0+\frac{1}{K_a}{a}_0$$

• $r_0$：阶跃输入幅值
• $v_0$：斜坡输入斜率
• $a_0$：抛物线输入加速度

3. 扰动作用下的稳态误差

• 扰动传递函数：$$\frac{E_n(s)}{N(s)}=-\frac{G_2(s)}{1+G_1(s)G_2(s)H(s)}$$
• 总稳态误差：$$e_{ss}=e_{ssr}+e_{ssn}$$

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总结与备考建议

1. 动态性能：重点掌握一阶、二阶系统响应曲线特性，熟练运用动态指标公式；
2. 稳定性分析：通过劳斯判据快速判断系统稳定性，注意特殊情况的处理技巧；
3. 稳态误差：区分不同系统类型对误差的影响，掌握复合输入下的误差叠加原理；
4. 高阶系统：理解主导极点概念，掌握部分分式分解方法。