leetcode 3068. 最大节点价值之和

3068. 最大节点价值之和 - 力扣（LeetCode）https://leetcode.cn/problems/find-the-maximum-sum-of-node-values/description/?envType=daily-question&envId=2025-05-23

给你一棵 n 个节点的 无向 树，节点从 0 到 n - 1 编号。树以长度为 n - 1 下标从 0 开始的二维整数数组 edges 的形式给你，其中 edges[i] = [ui, vi] 表示树中节点 ui 和 vi 之间有一条边。同时给你一个 正 整数 k 和一个长度为 n 下标从 0 开始的 非负 整数数组 nums ，其中 nums[i] 表示节点 i 的 价值 。

Alice 想 最大化 树中所有节点价值之和。为了实现这一目标，Alice 可以执行以下操作 任意 次（包括 0 次）：

• 选择连接节点 u 和 v 的边 [u, v] ，并将它们的值更新为：
  • nums[u] = nums[u] XOR k
  • nums[v] = nums[v] XOR k

请你返回 Alice 通过执行以上操作 任意次 后，可以得到所有节点 价值之和 的 最大值 。

示例 1：

输入：nums = [1,2,1], k = 3, edges = [[0,1],[0,2]]
输出：6
解释：Alice 可以通过一次操作得到最大价值和 6 ：
- 选择边 [0,2] 。nums[0] 和 nums[2] 都变为：1 XOR 3 = 2 ，数组 nums 变为：[1,2,1] -> [2,2,2] 。
所有节点价值之和为 2 + 2 + 2 = 6 。
6 是可以得到最大的价值之和。

示例 2：

输入：nums = [2,3], k = 7, edges = [[0,1]]
输出：9
解释：Alice 可以通过一次操作得到最大和 9 ：
- 选择边 [0,1] 。nums[0] 变为：2 XOR 7 = 5 ，nums[1] 变为：3 XOR 7 = 4 ，数组 nums 变为：[2,3] -> [5,4] 。
所有节点价值之和为 5 + 4 = 9 。
9 是可以得到最大的价值之和。

示例 3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7], k = 3, edges = [[0,1],[0,2],[0,3],[0,4],[0,5]]
输出：42
解释：Alice 不需要执行任何操作，就可以得到最大价值之和 42 。

提示：

• 2 <= n == nums.length <= 2 * 104
• 1 <= k <= 109
• 0 <= nums[i] <= 109
• edges.length == n - 1
• edges[i].length == 2
• 0 <= edges[i][0], edges[i][1] <= n - 1
• 输入保证 edges 构成一棵合法的树。

方法一：贪心

题目允许我们任意次选择树上任意一条边，将边上两点的值异或上 k，求所有节点值之和的最大值。

首先，由异或运算的性质可知，一个值 a 异或奇数次另一个值 k，值为 a⊕k，异或偶数次 k 值为 a。其次，对于树上任意两点，存在一条路径，对路径上的每一条边进行操作，除了路径的起点和终点进行了一次异或，剩下的所有点都进行了两次异或，值不变。也就是等价于我们可以对树上任意两点进行一次异或操作。因此，问题转化为对树上任意两点进行异或 k 操作，使得所有节点值之和最大。

我们可以使用贪心的思路来解决这个问题。令 res = nums[0] + nums[1] + ... + nums[n-1]，diff[i]=(nums[i]⊕k)−nums[i]，并将 diff 数组排序，按从大到小的顺序遍历 diff。每次将 diff 的两个元素相加，如果它们的和非负，则把和加到 res；如果和为负数，则结束遍历。遍历完成后的 res 即为和的最大值。

将 diff 排序，从大到小遍历，每次取两个值相加的操作，表示每次取两个异或后值增加最多的点进行操作，从而使节点值的总和增加最多。由于没有其它操作能使总和更大，贪心策略是正确的。

class Solution {
public:long long maximumValueSum(vector<int>& nums, int k, vector<vector<int>>& edges) {long long res = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0ll);vector<int> diff;for (auto& a : nums) {diff.push_back((a ^ k) - a);}sort(diff.begin(), diff.end());for (int i = diff.size() - 1; i > 0 && diff[i] + diff[i - 1] >= 0; i -= 2) {res += max(0, diff[i] + diff[i - 1]);}return res;}
};