辗转相除法(欧几里得算法)深度解析

前言

辗转相除法（Euclidean Algorithm）是求解两个正整数最大公约数（GCD, Greatest Common Divisor）的经典算法。它以简洁的数学原理和高效的计算过程，成为数论算法的基石之一，广泛应用于密码学、代数运算、计算机科学等领域。本文我将从数学原理、算法实现、复杂度分析、应用场景等多个维度，深入解析这一经典算法，结合代码示例与数学证明，带你全面掌握辗转相除法的核心思想。

一、辗转相除法的数学原理

1.1 最大公约数（GCD）

两个正整数 $a$ 和 $b$ 的最大公约数 $d$，是同时整除 $a$ 和 $b$ 的最大正整数，记作 $d=\gcd (a,b)$。例如：

• $\gcd (24,18)=6$
• $\gcd (45,15)=15$

1.2 核心数学定理：带余除法

辗转相除法基于数论中的带余除法：对于任意两个正整数 $a$ 和 $b$（$a>b$），存在唯一的整数 $q$（商）和 $r$（余数），使得：

$a=b\cdot q+r(0\le r<b)$

此时，$\gcd (a,b)=\gcd (b,r)$。证明：设 $d$ 是 $a$ 和 $b$ 的公约数，则 $d$ 整除 $a-b\cdot q=r$，因此 $d$ 也是 $b$ 和 $r$ 的公约数。反之，若 $d$ 是 $b$ 和 $r$ 的公约数，则 $d$ 整除 $b\cdot q+r=a$，因此 $d$ 也是 $a$ 和 $b$ 的公约数。故两者的公约数集合相同，最大公约数必然相等。

1.3 算法核心步骤

辗转相除法通过不断应用带余除法，将原问题转化为更小规模的子问题，直到余数为 0 时停止：

1. 用较大数除以较小数，得到余数 $r$。
2. 若 $r=0$，则较小数即为最大公约数。
3. 否则，将较小数作为新的较大数，余数作为新的较小数，重复步骤 1。

示例：计算

• $252\tilde{A}\cdot 105=2$ 余 $42$ → $\gcd (252,105)=\gcd (105,42)$
• $105\tilde{A}\cdot 42=2$ 余 $21$ → $\gcd (105,42)=\gcd (42,21)$
• $42\tilde{A}\cdot 21=2$ 余 $0$ → $\gcd (42,21)=21$最终结果为 $21$。
  

二、算法实现：递归与迭代

2.1 cpp递归实现

#include <iostream>
using namespace std;int gcd(int a, int b) {if (b == 0) return a;return gcd(b, a % b);
}int main() {cout << gcd(252, 105) << endl; // 输出21return 0;
}

递归逻辑：

• 终止条件：当 $b=0$ 时，返回 $a$（此时 $a$ 是上一步的除数，即当前最大公约数）。

• 递归调用：将问题转化为 $\gcd (b,a\%b)$，其中 $a\%b$ 是上一步的余数。

2.2 Python迭代实现

def gcd(a, b):while b != 0:a, b = b, a % breturn aprint(gcd(252, 105))  # 输出21

迭代逻辑：

• 用循环替代递归，通过不断更新 $a$ 和 $b$ 的值（$a$ 变为原 $b$，$b$ 变为原 $a\%b$），直到 $b=0$ 时返回 $a$。

2.3 处理负数与 0 的边界情况

实际应用中需处理非正整数输入：

def gcd(a, b):a = abs(a)b = abs(b)while b != 0:a, b = b, a % breturn a

• 先取绝对值，确保输入为正整数。

• 若输入包含 0（如 $\gcd (0,5)=5$），算法依然成立，因为 $\gcd (0,n)=n$（$n>0$）。

三、复杂度分析：对数级效率

3.1 时间复杂度

辗转相除法的时间复杂度为 $O(\log \min (a,b))$，证明基于以下两点：

1. 余数递减性质：每次迭代后，余数 $r=a\%b$ 满足 $r<b$，且当 $a>b$ 时，$a\%b\le a/2$（当 $a<2b$ 时，余数 $a-b<b$；当 $a\ge 2b$ 时，余数 $a\%b\le a/2$）。

2. 斐波那契数列下界：算法的迭代次数不超过较小数的位数。设 $a>b$，迭代次数为 $k$，则 $a\ge F(k+2)$，$b\ge F(k+1)$，其中 $F(n)$ 是斐波那契数列。由于斐波那契数列呈指数增长，迭代次数 $k=O(\log b)$。

3.2 空间复杂度

• 递归实现：空间复杂度为 $O(\log b)$（递归栈深度）。

• 迭代实现：空间复杂度为 $O(1)$（仅使用常数级变量）。

四、扩展：从辗转相除法到扩展欧几里得算法

4.1 扩展欧几里得算法

辗转相除法的扩展版本可求解贝祖等式 $ax+by=\gcd (a,b)$ 的整数解 $(x,y)$。算法思想：在求 $\gcd (a,b)$ 的过程中，反向推导 $x$ 和 $y$ 的值。递归实现（Python）：

def extended_gcd(a, b):if b == 0:return a, 1, 0gcd, x1, y1 = extended_gcd(b, a % b)x = y1y = x1 - (a // b) * y1return gcd, x, ygcd, x, y = extended_gcd(252, 105)
print(f"gcd={gcd}, x={x}, y={y}")
# 输出 gcd=21, x=-1, y=2（252*(-1) + 105*2 = 21）

4.2 应用场景

• 求解线性同余方程：如 $ax\equiv c\mathrm{mod}m$，需先判断 $\gcd (a,m)$ 是否整除 $c$。

• 密码学：RSA 算法中用于计算模逆元（若 $a$ 和 $m$ 互质，存在唯一的 $x$ 使得 $ax\equiv 1\mathrm{mod}m$）。

五、与其他 GCD 算法的对比

5.1 更相减损术（九章算术算法）

• 原理：通过反复做差代替取余：$\gcd (a,b)=\gcd (|a-b|,b)$（$a>b$）。

• 示例：$\gcd (252,105)=\gcd (147,105)=\gcd (42,105)=\gcd (42,63)=\gcd (42,21)=21$。

• 优缺点：避免取余运算（适合大数），但最坏情况时间复杂度为 $O(a+b)$（如 $\gcd (n,1)$ 需要 $n-1$ 次减法），效率低于辗转相除法。

5.2 二进制 GCD 算法

• 原理：结合移位运算和减法，适用于二进制系统：

1. 若 $a$ 和 $b$ 均为偶数，$\gcd (a,b)=2\cdot \gcd (a/2,b/2)$。

2. 若 $a$ 为偶数、$b$ 为奇数，$\gcd (a,b)=\gcd (a/2,b)$。

3. 若 $a$ 和 $b$ 均为奇数，$\gcd (a,b)=\gcd (|a-b|,b)$。

• 优点：避免大数取余，适合计算机底层实现（如 Python 的math.gcd内部优化）。

六、数学&工程应用场景

6.1 分数约分

将分数 $\frac{a}{b}$ 约分为最简形式：

def reduce_fraction(a, b):g = gcd(a, b)return (a // g, b // g)print(reduce_fraction(18, 24))  # 输出 (3, 4)

6.2 多项式 GCD

在符号计算中，辗转相除法可扩展到多项式环，用于求解两个多项式的最大公因式，步骤与整数 GCD 类似，将取余运算替换为多项式除法。

6.3 计算机底层实现

• 编程语言内置函数：Python 的math.gcd、C++ 的<algorithm>库中的__gcd均基于优化的辗转相除法。

• 加密算法：RSA 算法中，通过扩展欧几里得算法计算私钥，确保加密和解密的正确性。

总结

辗转相除法以简洁的数学原理和高效的计算过程，成为数论算法的典范。它不仅解决了最大公约数的求解问题，还衍生出扩展算法，在密码学、代数运算等领域发挥关键作用。理解辗转相除法，不仅是掌握一个算法，更是理解 “问题简化” 和 “数学归纳” 思想的重要实践。

That’s all, thanks for reading!
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