26考研|数学分析：函数列与函数项级数

前言

函数列与函数项级数这一章虽然课本安排章节较少，只要两小节，但是在具体学习过程中，确实会有一定的难度，首先难点便是在对于函数列与函数项级数的理解，其次关于一致收敛性质的理解与判断，也是难点所在，最后还要理解关于一致收敛函数列以及一致收敛函数项级数的性质——连续性、可积性与可微性。

课本简单概括

13.1一致收敛性

关于函数列的一致收敛性，更多的是关注函数列与极限函数之间的差距，这里面还要区分收敛与一致收敛，其实本质区别就在于对于N的选择中，受不受到自变量x的影响，这是由收敛到一致收敛的关键一步，关于一致收敛函数列的判断，常常判断其与极限函数之间差距的上确界，当上确界为0时，即可判断一致收敛，而关于不一致收敛的判断，常采用两个方法，其一为取子列，使其带入后上确界不为0，其二是对差值直接放缩，最终判断上确界不为0。

关于函数项级数的一致收敛性判断，可以将其求和后转化为函数列，进而利用有关函数列的判断方法，或者还可以使用其他判别方法，比如优级数判别法/M级数判别法、阿贝尔判别法以及迪利克雷判别法进行收敛性的判断。

13.2一致收敛函数列与函数项级数的性质

这一小节介绍当函数列或者函数项级数具有一致收敛的性质后，又会推出那些其他性质。

主要介绍三种性质——连续性、可积性、可微性。这里面一定要注意分清函数列还是函数项级数，其次要注意区分各个性质的前置条件，格外应该注意可微性，其要求函数列一致收敛，同时要求求导后的导函数列也要一致收敛，才具有可微性，同时注意极限与求积分/求微分的可交换性，这里面强调的都是充分条件，而不是必要条件。

课本经典例题