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【感知机】感知机(perceptron)学习策略

news 2025/8/11 10:37:36

感知机( perceptron )是二类分类的线性分类模型，其输入为实例的特征向量，输出为实例的类别，取+1 和-1二值。感知机对应输入空间(特征空间)中将实例划分为正负两类的分离超平面，是一种判别模型。感知机是神经网络与支持向量机的基础
感知机学习旨在求出将训练数据进行线性划分的分离超平面。

感知机学习策略

假设训练数据集线性可分

学习目标：求得正确划分训练集中所有正负实例点的分离超平面

学习策略：1、确定一个损失函数。2、选取使损失函数最小的参数。

损失函数的选择：误分类点到分离超平面的距离

任一点 $x_0$ 到超平面的距离公式： $\frac{1}{\left \| w \right \|}\left | w\cdot x_0+b \right |$ ，其中 $\left \| w \right \|$ 是 $w$ 的 $L_2$ 范数，

向量的 $L_2$ 范数：向量各元素平方和的平方根

定理:对于误分类数据 $(x_i,y_i)$ ,有 $y_i(w\cdot x_i+b)<0$

从而由距离公式和上述定理，得

误分类点 $x_i$ 到超平面的距离公式： $-y_i\frac{1}{\left \| w \right \|} (w\cdot x_i+b )$

实现了去掉绝对值的工作

所有误分类点到超平面的总距离： $- \frac{1}{\left \| w \right \|} \underset{x_i\in M}{\sum } y_i (w\cdot x_i+b )$ ， $M$ 为误分类点集合

不必考虑 $\frac{1}{\left \| w \right \|}$ ,最终得到损失函数

损失函数： $L(w,b)=- \underset{x_i\in M}{\sum } y_i (w\cdot x_i+b )$

一个特定的样本点的损失函数：在误分类时是参数 $w,b$ 的线性函数；在正确分类时是0。
因此，

注：给定训练数据集 $T$ 时，损失函数是 $w,b$ 的连续可导函数

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