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【C++】二叉搜索数

news 2025/7/26 13:14:54

1.二叉搜索树概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的二叉树

若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于等于根结点的值
若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都大于等于根结点的值
它的左右子树也分别为二叉搜索树
二叉搜索树中可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用场景定义，map/set/multimap/multiset系列容器底层就是⼆叉搜索树，其中map/set不支持插入相等值，multimap/multiset支持插入相等值

2. 二叉搜索树的性能分析

最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其高度为：log2 N

最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其高度为：N

所以综上二叉搜索树增删查改时间复杂度为：O(N)

补充二分查找

二分查找也可以实现O(log2 N) 级别的查找效率，但是二分查找有两缺陷：

需要存储在支持下标随机访问的结构中，并且有序
插入和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插⼊和删除数据⼀般需要挪动数据

3. 二叉搜索树的插入

插⼊的具体过程如下：

树为空，则直接新增结点，赋值给root指针
树不空，按二叉搜索树性质，插入值比当前结点大往右走，插入值比当前结点小往左走，找到空位置，插入新结点
如果支持插入相等的值，插入值跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左走找到空位置，插入新结点。（要注意的是要保持逻辑一致性，插入相等的值不要一会往右走，一会往左走）

4. 二叉搜索树的查找

从根开始比较，查找x，x比根的值大则往右边走查找，x比根值小则往左边走查找
最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在
如果不支持插入相等的值，找到x即可返回
如果支持插入相等的值，意味着有多个x存在，一般要求查找中序的第一个x。如下图，查找3，要找到1的右孩子的那个3返回

5. 二叉搜索树的删除

先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回false

如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）

要删除结点N左右孩子均为空
要删除的结点N左孩子位空，右孩子结点不为空
要删除的结点N右孩子位空，左孩子结点不为空
要删除的结点N左右孩子结点均不为空

对应以上四种情况的解决方案：

把N结点的父亲对应孩子指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是一样的
把N结点的父亲对应孩子指针指向N的右孩子，直接删除N结点
把N结点的父亲对应孩子指针指向N的左孩子，直接删除N结点
无法直接删除N结点，因为N的两个孩子无处安放，只能用替换法删除。找N左子树的值最大结点 R(最右结点)或者N右子树的值最小结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的位置，都满足二叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除（考虑N是头节点情况，如下图删除8，则实现父节点一开始不能设为nullptr

6. 二叉搜索树的实现代码

实现代码

struct BSTNode
{K _key;BSTNode<K>* _left;BSTNode<K>* _right;BSTNode(const K& key):_key(key), _left(nullptr), _right(nullptr){}
};// Binary Search Tree
template<class K>
class BSTree
{typedef BSTNode<K> Node;
public:bool Insert(const K& key){if (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(key);if (parent->_key < key){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}return true;}bool Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){cur = cur->_left;}else{return true;}}return false;}bool Erase(const K& key){Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{// 0-1个孩⼦的情况 // 删除情况1 2 3均可以直接删除，改变⽗亲对应孩⼦指针指向即可 if (cur->_left == nullptr){if (parent == nullptr){_root = cur->_right;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_right;elseparent->_right = cur->_right;}delete cur;return true;}else if (cur->_right == nullptr){if (parent == nullptr){_root = cur->_left;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_left;elseparent->_right = cur->_left;}delete cur;return true;}else{// 2个孩⼦的情况 // 删除情况4，替换法删除 // 假设这⾥我们取右⼦树的最⼩结点作为替代结点去删除 // 这⾥尤其要注意右⼦树的根就是最⼩情况的情况的处理，对应课件图中删除8的情况// ⼀定要把cur给rightMinP，否会报错。 Node* rightMinP = cur;Node* rightMin = cur->_right;while (rightMin->_left){rightMinP = rightMin;rightMin = rightMin->_left;}cur->_key = rightMin->_key;if (rightMinP->_left == rightMin)rightMinP->_left = rightMin->_right;elserightMinP->_right = rightMin->_right;delete rightMin;return true;}}}return false;}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}
private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);}
private:Node* _root = nullptr;
};

7. 二叉搜索树key和key/value使用场景

7.1 key搜索场景

只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断 key在不在。

key的搜索场景实现的二叉树搜索树支持增删查，但是不支持修改，修改key破坏搜索树结构了

7.2 key/value搜索场景

每一个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。

树的结构中(结点)除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字走二叉搜索树的规则进行比较，可以快速查找到key对应的value。

key/value的搜索场景实现的二叉树搜索树支持修改，但是不支持修改key，修改key破坏搜索树性质了，可以修改value。

7.3 key/value二叉搜索树代码实现

实现代码

#pragma once
namespace key_value {template<class K, class V>struct BSTreeNode {K _key;V _value;BSTreeNode<K, V>* _left;BSTreeNode<K, V>* _right;BSTreeNode(const K& key, const V& value):_key(key), _value(value), _left(nullptr), _right(nullptr){}};template<class K, class V>class BSTree {typedef BSTreeNode<K, V> Node;public:bool Insert(const K& key, const V& value){if (_root == nullptr){_root = new Node(key, value);return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else if(cur->_key<key){parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;}}cur = new Node(key, value);if (parent->_key>key){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}return true;}Node* Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;}bool Erase(const K& key){Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else{//删除if (cur->_right = nullptr){if (cur == _root){_root = _root->_left;}else{if (parent->_right = cur){parent->_right = cur->_left;}else{parent->_left = cur->_left;}}delete cur;}else if (cur->_left = nullptr){if (cur = _root){_root = cur->__right;}else{if (parent->_left = cur){parent->_left = cur->_right;}if (parent->_right = cur){parent->_right = cur->_right;}}delete cur;}else{//两个孩子Node* minright = cur;Node* minrightparent = cur;while (cur->_left){minrightparent = minright;minright = minright->_left;}cur->_key = minright->_key;//minrightparent->_left = nullptr;//错误！！！遗漏情况if (minrightparent->_left == minright){minrightparent->_left = minright->_right;}else{minrightparent->_right = minright->_right;}delete minright;}return true;//!!!!!!!!!!!}}return false;}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " " << root->_value << endl;_InOrder(root->_right);}Node* _root = nullptr;};}
//main函数string arr[] = { "苹果","香蕉","香蕉","西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜",
"苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉","香蕉","香蕉" };key_value::BSTree<string, int> countTree;for (auto& e : arr){auto ret = countTree.Find(e);if (ret == nullptr){countTree.Insert(e, 1);}else{ret->_value++;}}countTree.InOrder();

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