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洛谷 P13014：[GESP202506 五级] 最大公因数

news 2025/7/14 9:56:29

【题目来源】
https://www.luogu.com.cn/problem/P13014

【题目描述】
对于两个正整数 $a,b$ ，他们的最大公因数记为 $gcd(a,b)$ 。对于 $k>3$ 个正整数 $c_1, c_2, \cdots,c_k$ ，他们的最大公因数为： $gcd(c_1,c_2,\cdots,c_k) = gcd(gcd(c_1,c_2,\cdots,c_{k-1}), c_k)$
给定 $n$ 个正整数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 以及 $q$ 组询问。对于第 $i(1\leq i\leq q)$ 组询问，请求出 $a_1+i,a_2+i,\cdots ,a_n+i$ 的最大公因数，也即 $gcd(a_1+i,a_2+i,\cdots ,a_n+i)$ 。

【输入格式】
第一行，两个正整数 $n,q$ ，分别表示给定正整数的数量，以及询问组数。
第二行， $n$ 个正整数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 。

【输出格式】
输出共 $q$ 行，第 $i$ 行包含一个正整数，表示 $a_1+i,a_2+i,\cdots ,a_n+i$ 的最大公因数。

【输入样例】
5 3
6 9 12 18 30

【输出样例】
1
1
3

【说明/提示】
对于 60% 的测试点，保证 1≤n≤10^3，1≤q≤10。
对于所有测试点，保证 1≤n≤10^5，1≤q≤10^5，1≤ai≤1000。

【算法分析】
● “辗转相除法”求最大公约数：https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/145671149
● 最大公约数性质：
$gcd(a,b)=gcd(a,b-a) \\ gcd(a,b,c)=gcd(a,b-a,c-b)\\ gcd(a_1, a_2,\cdots,a_n)=gcd(a_1,a_2-a_1,a_3-a_2,\cdots,a_n-a_{n-1})$

【算法代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int maxn=1e5+5;
int a[maxn];
int n,q,t;int gcd(int a,int b) {if(b==0) return a;return gcd(b,a%b);
}int main() {scanf("%d%d",&n,&q);for(int i=1; i<=n; i++) {scanf("%d",&a[i]);}sort(a+1,a+n+1);for(int i=2; i<=n; i++) {t=gcd(t,a[i]-a[i-1]);}for(int i=1; i<=q; i++) {printf("%d\n",gcd(t,a[1]+i));}return 0;
}/*
in:
5 3
6 9 12 18 30out:
1
1
3
*/

【参考文献】
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/145671149
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/136276606

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http://www.xdnf.cn/news/1116019.html