微积分核心考点全解析

一、微积分核心知识框架

1. 极限与连续（重点！）

• 核心概念：
  • 极限定义（ε-δ语言）
  • 重要极限：lim⁡x→0sin⁡xx=1limx→0​xsinx​=1，lim⁡x→∞(1+1x)x=elimx→∞​(1+x1​)x=e
  • 连续性判定：函数在点 x0x0​ 连续需满足 lim⁡x→x0f(x)=f(x0)limx→x0​​f(x)=f(x0​)
• 典型题目：

2. 导数与微分（重点！）

• 核心公式与方法：
  • 导数定义：f′(x0)=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δxf′(x0​)=limΔx→0​Δxf(x0​+Δx)−f(x0​)​
  • 求导法则：链式法则、隐函数求导、参数方程求导
  • 应用：单调性、极值、凹凸性（二阶导数判定）
• 典型题目：

3. 积分（重点！）

• 两大模块：
  • 不定积分：基本公式（如 ∫1xdx=ln⁡∣x∣+C∫x1​dx=ln∣x∣+C）、换元法、分部积分法
  • 定积分：牛顿-莱布尼茨公式 ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a) 2
• 应用：面积、体积、物理问题（如变力做功）
• 典型题目：

4. 微分方程

• 核心类型：
  • 一阶：可分离变量 dydx=g(x)h(y)dxdy​=g(x)h(y)
  • 二阶常系数线性：y′′+py′+qy=f(x)y′′+py′+qy=f(x)，特解构造（表格法）
• 典型题目：

5. 多元函数微积分

• 核心概念：
  • 偏导数：∂f∂x∂x∂f​
  • 梯度与方向导数
  • 二重积分计算（直角坐标/极坐标）4
• 典型题目：

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二、知识导图建议（分层结构）

配套记忆卡片（打印裁剪使用）

分类	核心公式/定理	应用场景
极限	lim⁡x→0sin⁡xx=1limx→0​xsinx​=1	三角函数极限
导数	(uv)′=u′v+uv′(uv)′=u′v+uv′	乘积函数求导
积分	∫1xdx=ln⁡∥x∥+C∫x1​dx=ln∥x∥+C	含x⁻¹的积分
微分方程	y′′+ω2y=0⇒y=C1cosωx+C2sinωxy′′+ω2y=0⇒y=C1​cosωx+C2​sinωx	简谐振动模型

重点标注说明：

• 标⭐内容为考研高频考点 ；
• 积分与微分方程是应用题核心（占分≥30%）；