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数据结构：位图

news 2025/7/12 16:10:16

问题引入

位图

定义

问题引入

有一道经典的面试题：有40亿个无序无符号整数，要求你高效判断一个数是否在这堆数中。

想法一：暴力查找似乎能够解决问题，但显然找一次就要消耗O(N)的时间，这是不能接受的；

想法二：问题的本质是查找，因此想到使用高效的二分查找：

先进行一次O(N logN)的排序，之后的每次查找都只要O(logN)。

想法二的改进很不错，将时间消耗降到了一个可接受的范围，但却只考虑了时间，没考虑空间。

由于1GB = 1024MB = 1024*1024 KB = 1024*1024*1024 B，所以40亿个整数大致是16GB，而一个程序能给你这么多内存吗？二分的下标索引需要在内存中进行，如果放在外存上，索引效率就不行了，也就无法进行二分查找。

这可如何是好啊！？但既然是高效查找，就还应该有想法三：哈希映射。可尽管如此，哈希表也仍然会遇到内存不够的问题。

既然两个想法都被空间所限制，所以决定在空间上进行优化。

既然内存不够，“压缩”一下内存，不就够了？

位图

定义

位图是一种基于直接定址的紧凑数据结构，通过将整数索引映射到二进制bit位上以存储状态信息。

核心原理就是建立高效的直接定址的映射关系：

传统数组的整数索引需至少占用1 byte(bool)来进行状态表示；

位图将整数索引映射到int型（4byte = 32 bit）的每一bit位上，只需要一bit位就能进行状态表示。即一个int就能表示32个数的独立状态，实现了显著的空间压缩效果，提高了32倍的空间利用率。

相关整型位操作

由于位图把一个整型当作32bit操作，主角是一个整型中的每一bit位，就不可避免要使用到整型位操作。

但首先还是要先将整数索引的bit位址找出来，这不难：

i = n / 32;
j = n % 32;

i 表示在第几个int中，j 表示在第 i 个整型中的第几位。

疑点

有人可能会提出问题：不同的编译器有大小端的差异，且我们一般在位运算时将右边视为最低位，这样从左到右划分整型索引，运算时会不会出问题？索引结果会不会对不上？

首先是大小端的问题，这是整型在存储时高低位在大小地址存储的问题，这仅是存储的机制，但并不改变byte内部的bit顺序，所以并无影响；

第二个整形索引与位序共存的问题：i 表示的是第几个byte(数组从左往右看)，而 j = n % 32表示的是在 i 中 n 的逻辑bit最低位 (int的32位中从右往左看)。在进行位运算时，只要 j 明确是逻辑bit位，就能够进行正确运算。

只不过一开始的图可能会令人有点迷惑，可能要改改。

位运算

由于0和1能表示的信息有限，位图通常的操作就是修改整型索引对应的位状态。

常用的操作：【1】判断一个数n的第 i 位是0 or 1

return (n>>j) & 1;

【2】将一个数 n 的第 i 位修改成1

n |= (1<<i);

【3】将一个数 n 的第 i 位修改成0

n &= (~(1<<i));

C++库里的bitset

【1】在C++库里的 bitset 的主要常用接口：

bitset& set (size_t pos, bool val = true); 将pos位置 置1

bitset& reset (size_t pos); 将pos位置 置0

bool test (size_t pos) const; 返回pos位置的状态

【2】C++库里的 bitset 是用静态数组实现，追求极致性能换取编译器优化。但如此在栈上开的空间就可能不够，没办法直接开辟UINT_MAX的空间（下列都不行）。

std::bitset<-1> bs1;
std::bitset<UINT_MAX> bs2;
std::bitset<0xffffffff> bs3;

但是总是有办法的，在栈上开不出来，就去堆上开。

auto pbs = new bitset<UINT_MAX>();

实现

模拟实现一个简易的位图，但我不追求极致性能，所以底层用动态数组。

template<size_t N>class bitset {public:bitset(){_bits.resize(N / 32 + 1);}void set(size_t pos) {size_t i = pos / 32;size_t j = pos % 32;_bits[i] |= (1 << j);}void reset(size_t pos) {size_t i = pos / 32;size_t j = pos % 32;_bits[i] &= (~(1 << j));}bool test(size_t pos) {size_t i = pos / 32;size_t j = pos % 32;return (_bits[i] >> j) & 1;}private:std::vector<int> _bits;};