Burgers方程初值问题解的有效区域

$$\{\begin{array}{ll}{u}_t+u{u}_x=0,& t>0;\\ u{|}_{t=0}=f(x)& \end{array}$$

并描述在 $$(x,t)$$ 平面上解有效定义的区域，使用以下初始数据之一：

$$f(x)=\tanh (x);f(x)=-\tanh (x);$$

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-1& x<-a,\\ \frac{x}{a}& -a\le x\le a,\\ 1& x>a;\end{array}$$

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{a}& x<-a,\\ -\frac{x}{a}& -a\le x\le a,\\ -1& x>a;\end{array}$$

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-1& x<0,\\ 1& x>0;\end{array}$$

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\sin (x)& |x|<\pi ,\\ 0& |x|>\pi ,\end{array}$$

其中 $$a>0$$ 是参数。

问题求解

该问题涉及一阶拟线性偏微分方程（无粘性Burgers方程）：
$$u_t+u{u}_x=0,t>0,$$
初始条件为 $$u(x,0)=f(x)$$。方程的特征线方程为 $$\frac{dx}{dt}=u$$，沿特征线 $$u$$ 为常数。解为 $$u(x,t)=f(x_0)$$，其中 $$x_0$$ 满足 $$x=x_0+f(x_0)t$$。解在特征线相交前有效（即激波形成前），此时解为经典解（光滑或连续）。激波形成时间由 $$1+f^{\prime }(x_0)t=0$$ 的最小正解决定（当 $$f^{\prime }(x_0)<0$$ 时）。

针对每个初始数据 $$f(x)$$，求解并描述解有效定义的区域（即经典解存在的区域）。区域以 $$t$$ 的范围和 $$x\in \mathbb{R}$$ 给出，除非特别说明。

1. $$f(x)=\tanh (x)$$

• $$f^{\prime }(x)={\text{sech}}^2(x)>0$$ 对所有 $$x$$。
• 特征线无相交，解全局光滑。
• 解有效定义的区域：$$t\ge 0$$，所有 $$x$$.

2. $$f(x)=-\tanh (x)$$

• $$f^{\prime }(x)=-{\text{sech}}^2(x)<0$$ 对所有 $$x$$。
• 激波形成时间 $$t=1$$（在 $$x_0=0$$ 处 $$f^{\prime }(x_0)=-1$$，$$t=-1/f^{\prime }(x_0)=1$$)。
• 对于 $$t<1$$，解光滑；$$t=1$$ 时激波形成。
• 解有效定义的区域：$$0\le t<1$$，所有 $$x$$.

3. $$f(x)=\{\begin{array}{ll}-1& x<-a\\ \frac{x}{a}& -a\le x\le a\\ 1& x>a\end{array}$$

• $$f(x)$$ 连续，且 $$f^{\prime }(x)\ge 0$$（$$|x|>a$$ 时 $$f^{\prime }=0$$，$$|x|<a$$ 时 $$f^{\prime }=1/a>0$$)。
• 特征线无相交（在 $$|x|<a$$ 区域特征线发散）。
• 解有效定义的区域：$$t\ge 0$$，所有 $$x$$.

4. $$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{a}& x<-a\\ -\frac{x}{a}& -a\le x\le a\\ -1& x>a\end{array}$$

• 在 $$x=-a$$ 处不连续（除非 $$a=1$$)。
• 情况分析：
  • 若 $$a>1$$：
    • 在 $$x=-a$$ 处，左状态 $$u_l=1/a<1=u_r$$（右状态），形成稀疏波。
    • 在 $$|x|<a$$ 区域，$$f^{\prime }(x)=-1/a<0$$，激波在 $$t=a$$ 形成。
    • 解在 $$0<t<a$$ 连续且光滑（稀疏波和线性区域连接）。
    • 解有效定义的区域：$$0<t<a$$，所有 $$x$$。
  • 若 $$a<1$$：
    • 在 $$x=-a$$ 处，$$u_l=1/a>1=u_r$$，形成激波（立即在 $$t=0^{+}$$ 形成）。
    • 无经典解区域。
    • 解有效定义的区域：无（经典解不存在）。
  • 若 $$a=1$$：
    • $$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& x<-1\\ -x& -1\le x\le 1\\ -1& x>1\end{array}$$，连续。
    • 在 $$|x|<1$$ 区域，$$f^{\prime }(x)=-1<0$$，激波在 $$t=1$$ 形成。
    • 解有效定义的区域：$$0\le t<1$$，所有 $$x$$.

5. $$f(x)=\{\begin{array}{ll}-1& x<0\\ 1& x>0\end{array}$$

• 在 $$x=0$$ 处不连续，$$u_l=-1<1=u_r$$。
• 形成稀疏波（中心在 $$x=0$$)，解在 $$t>0$$ 连续。
• 无激波形成（特征线发散）。
• 解有效定义的区域：$$t>0$$，所有 $$x$$（在 $$t=0$$ 不经典）。

6. $$f(x)=\{\begin{array}{ll}\sin (x)& |x|<\pi \\ 0& |x|>\pi \end{array}$$

• $$f(x)$$ 连续（在 $$x=\pm \pi$$ 处 $$f=0$$)。
• $$f^{\prime }(x)=\cos (x)$$ 在 $$|x|<\pi$$，在 $$\pi /2<|x|<\pi$$ 时 $$f^{\prime }<0$$。
• 激波形成时间 $$t=1$$（在 $$x_0\to \pm {\pi }^{\mp }$$ 处 $$f^{\prime }(x_0)\to -1$$，$$t=-1/f^{\prime }(x_0)\to 1$$)。
• 对于 $$t<1$$，解光滑。
• 解有效定义的区域：$$0\le t<1$$，所有 $$x$$.

总结

解有效定义的区域指经典解（连续且光滑）存在的区域。结果总结如下：

初始数据 $$f(x)$$	解有效定义的区域（在 $$(x,t)$$ 平面上）
$$f(x)=\tanh (x)$$	$$t\ge 0$$，所有 $$x$$
$$f(x)=-\tanh (x)$$	$$0\le t<1$$，所有 $$x$$
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-1& x<-a\\ \frac{x}{a}& -a\le x\le a\\ 1& x>a\end{array}$$	$$t\ge 0$$，所有 $$x$$
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{a}& x<-a\\ -\frac{x}{a}& -a\le x\le a\\ -1& x>a\end{array}$$	若 $$a>1$$: $$0<t<a$$，所有 $$x$$ 若 $$a<1$$: 无 若 $$a=1$$: $$0\le t<1$$，所有 $$x$$
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-1& x<0\\ 1& x>0\end{array}$$	$$t>0$$，所有 $$x$$
$$ f(x) = \begin{cases} \sin(x) &	x

注：

• 对于不连续的初始数据（如情况4、5），解在 $$t>0$$ 可能连续（通过稀疏波），但仅在指定区域内经典。
• 激波形成后，解需引入激波条件，但本问题仅要求经典解区域。

$$\boxed{\begin{array}{c}\text{问题6的解答：}\\ \\ \begin{array}{cc}\text{初始数据 }f(x)& \text{解有效定义的区域}\\ \tanh (x)& t\ge 0,x\in \mathbb{R}\\ -\tanh (x)& 0\le t<1,x\in \mathbb{R}\\ \{\begin{array}{ll}-1& x<-a\\ \frac{x}{a}& -a\le x\le a\\ 1& x>a\end{array}& t\ge 0,x\in \mathbb{R}\\ \{\begin{array}{ll}\frac{1}{a}& x<-a\\ -\frac{x}{a}& -a\le x\le a\\ -1& x>a\end{array}& \{\begin{array}{ll}a>1:& 0<t<a,x\in \mathbb{R}\\ a<1:& \text{无}\\ a=1:& 0\le t<1,x\in \mathbb{R}\end{array}\\ \{\begin{array}{ll}-1& x<0\\ 1& x>0\end{array}& t>0,x\in \mathbb{R}\\ \{\begin{array}{ll}\sin (x)& |x|<\pi \\ 0& |x|>\pi \end{array}& 0\le t<1,x\in \mathbb{R}\end{array}\end{array}}$$