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【考研数学：高数8】一元函数积分学的概念与性质

news 2025/6/14 9:16:01

前言

一、不定积分与定积分

1.原函数与不定积分

2.定积分

（1）定义

（2）性质

3.存在定理

（1）不定积分存在定理

（2）定积分存在定理

二、变限积分

1.性质

三、反常积分

1.概念

（1）反常积分的敛散性

（2）敛散性判别

2.例题

结论

ID：HL_5461

前言

本文为张宇老师《基础三十讲》高数第八讲的自用笔记。不做商用，侵删致歉！

例题的序号，以1.2.1为例，意思是一里第2的第1个例题，总之从标题一（一、二、三酱紫的）往里数就是。

这一章重点在不定积分和定积分的存在定理、定积分、变限积分的性质，难点是反常积分的敛散性判别。

一、不定积分与定积分

虽然这俩名字相像，在计算上也有相似，但是个人感觉性质这里还是把它们看成完全不同的东西便于理解，放一起说是便于区分

1.原函数与不定积分

求不定积分其实就是算一个函数的全体原函数，比如 $\int f(x)dx=F(x)+C$ ， $\int$ 只是一个记号，代表求 $f(x)$ 的全体原函数。或者把它写作 $\int f'(x)dx=f(x)+C$ 会更好理解一点。

也就说定积分内部的函数与其结果是导数与函数的关系。这和后面的变限积分有着明显区别，变限积分 $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ 只在特殊（ $f(x)$ 连续）情况下与得到的函数 $F(x)$ 是函数与导数关系。这也导致了不定积分与变限积分 $F(x)$ 和 $f(x)$ 性质的不同（变限积分后面说）。

正如前面所说， $f(x)$ 是 $F(x)$ 的导数，所以 $F(x)$ 必可导，可导函数又必连续，可以根据这个直接看函数是否连续或可导在选择题中判断中选项是否是原函数。而 $f(x)$ 作为导函数必须有介质性，这也是不定积分存在定理（后面详谈）

2.定积分

定积分求的是曲线与x轴所围面积的代数和

（1）定义

①定义式： $\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{k=1}^{n}f(\xi _k)\Delta x_k$

②特殊形式： $\int_{0}^{1}f(x)dx=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})\frac{1}{n}$

特殊形式可用于n趋于无穷的n项和计算，做不出来再考虑放缩

例1.2.1：求 $\lim_{n\rightarrow \infty }(\frac{n+1}{n^2+1}+\frac{n+2}{n^2+4}+...+\frac{n+n}{n^2+n^2})$

思路：

先考虑定积分，做不出来再考虑放缩

$\lim_{n\rightarrow \infty }(\frac{n+1}{n^2+1}+\frac{n+2}{n^2+4}+...+\frac{n+n}{n^2+n^2})=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}\frac{n+i}{n^2+i^2}$

$\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}\frac{n+i}{n^2+i^2}=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}\cdot \frac{1+\frac{i}{n}}{1+(\frac{i}{n})^2}=\int_{0}^{1}\frac{1+x}{1+x^2}dx$

（2）性质

①保号性： $f(x)\leqslant g(x)\Rightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx\leqslant \int_{a}^{b}g(x)dx$

特殊地，有： $\left |\int_{a}^{b}f(x)dx \right |\leqslant \int_{a}^{b}\left |f(x) \right |dx$

②估值定理： $mL\leqslant \int_{a}^{b}f(x)dx\leqslant ML$

③中值定理： $\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$

3.存在定理

（1）不定积分存在定理

如果往导函数的性质上面去想这个就挺明显了，无穷间断点和第一类间断点都不符合导函数“介质性”，所以这两个一定没有原函数，即不定积分不存在

①连续函数必有原函数

②有震荡间断点的不一定有原函数

③有第一类间断点和无穷间断点的一定没有原函数

（2）定积分存在定理

定积分求的是面积，所以要定积分存在只需曲线可以“围起来”即可

所以定积分存在的必要条件是：

①定积分存在则函数在有界区间上必有界

充分条件是比必要条件更“广泛”的条件，必要条件可以看作充分条件的子集，所以直接引申：

② $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则定积分存在

③ $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调，则定积分存在

④ $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，且只有有限个间断点，则定积分存在

二、变限积分

$F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ 是表示一个面积的函数，很神奇的，再大多数情况下它是 $f(x)$ 的原函数，但不代表 $\int f(x)dx=\int_{a}^{x}f(t)dt$ ，因为前者永远是 $f(x)$ 的原函数，但后者只在一些情况下成立。

1.性质

①变限积分本质是一个函数，该函数存在即连续

② $f(x)$ 可积，则 $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ 连续

③ $f(x)$ 连续，则 $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ 可导，且导数为 $f(x)$

④ $x_0$ 为跳跃间断点，则 $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ 在 $x_0$ 不可导

⑤ $x_0$ 为可去间断点，则 $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ 在 $x_0$ 可导，但导数不为 $f(x_0)$ ，而是 $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)$

三、反常积分

1.概念

前面说定积分的必要条件是区间有界和函数有界，那么如果不有界就成了反常积分

（1）反常积分的敛散性

$f(x)$ 在 $x_0$ 的邻域内无界，则 $x_0$ 为瑕点，瑕点和 $\infty$ 统称为奇点

若 $x=b$ 是唯一奇点，则 $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$ ，两个积分都收敛则反常积分收敛。反常积分不能用“偶倍奇零”计算

（2）敛散性判别

这部分虽是难点但其实和之前算极值是一样的，因为除了少数放缩（下面的方法①）的，其余都是无穷大（小）比阶的问题，而且瑕点也就那几个，0或者 $\infty$ ，其它点那都极少极少。极限计算掌握熟练的其实比阶上面差不多一眼就能看出来了

①比较反常积分里面的函数，大的收敛小的必收敛，小的发散大的必发散

注意这里要求函数都大于0，但是由于函数的绝对值收敛函数也收敛，所以得出的结果是一样的，但是大题最好多写一步，比如例3.1的D选项

②奇点为 $\infty$ ，比较函数无穷小的阶次，同阶一致，低阶无穷小收敛高阶无穷小必收敛，高阶无穷小发散低阶无穷小必发散

③奇点为瑕点，比较函数无穷大的阶次，同阶一致，低阶无穷小发散高阶无穷小必发散，高阶无穷小收敛散低阶无穷小必收敛

④

2.例题

例3.1：以下反常积分发散的是？

（A） $\int_{1}^{+\infty }[\ln (1+\frac{1}{x})-\frac{1}{1+x}]dx$

（B） $\int_{0}^{+\infty }\frac{\ln x}{1+x^2}dx$

（C） $\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sin x}$

（D） $\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{\sin x}{1+x^2}dx$

思路：

（A）不太好比阶，所以考虑放缩， $\ln (1+\frac{1}{x})$ 还是很容易想到由拉格朗日中值定理推的那个不等式 $\frac{1}{1+x^2}<\ln (1+\frac{1}{x})<\frac{1}{x}$ ，所以 $0\leqslant \ln (1+\frac{1}{x})-\frac{1}{1+x}\leqslant\frac{1}{x(1+x)}$ ， $\frac{1}{x(1+x)}$ 与 $\frac{1}{x^2}$ 同阶（“抓大头”），具有相同敛散性，而 $\int_{1}^{+\infty }\frac{1}{x^2}dx$ 收敛，根据①，所以（A）收敛

（B）有两个瑕点，注意先拆分， $\int_{0}^{+\infty }\frac{\ln x}{1+x^2}dx=\int_{0}^{1}\frac{\ln x}{1+x^2}dx+\int_{1}^{+\infty }\frac{\ln x}{1+x^2}dx$ 。首先看第一个，趋于0时下面是常数，所以看 $\ln x$ 的敛散性，根据④，当 $p<1$ 时是收敛的，而在前面学到过， $\ln x$ 的速度是远没有幂函数快的，是低阶无穷大，由③，收敛；后半部分“抓大头”由 $x^2$ 决定， $\int_{1}^{+\infty }\frac{1}{x^2}dx$ 收敛，所以后半部分收敛。（B）收敛

（C） $\sin x$ 与 $x$ 同阶， $\int_{1}^{+\infty }\frac{1}{x}dx$ 发散，所以（C）发散

（D）有两个瑕点，注意先拆分， $\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{\sin x}{1+x^2}dx=\int_{-\infty }^{0 }\frac{\sin x}{1+x^2}dx+\int_{0 }^{+\infty }\frac{\sin x}{1+x^2}dx$ 。奇偶函数看一半就好了。这里可别傻了吧唧的 $\sin x$ 与 $x$ 同阶直接代掉了，毕竟0可不是瑕点，要看无穷，无穷时 $\sin x$ 和 $x$ 可不同阶。没法代了不好算，那就回到①。①的话有个函数都大于0的条件，所以加个绝对值来算 $0\leqslant \int_{-\infty }^{0 }\left |\frac{\sin x}{1+x^2} \right |dx\leqslant \int_{0}^{+\infty }\frac{1}{1+x^2}dx$ ，然后你就会发现：回到最初的起点~收敛吧。根据①，所以带绝对值那个收敛。①后面还补充了啥来着：函数的绝对值收敛函数也收敛，所以去了绝对值 $\int_{-\infty }^{0 }\frac{\sin x}{1+x^2}dx$ 也收敛。奇函数根据原点对称，另一半也收敛，所以（D）收敛