2.5 特征值与特征向量
本章围绕特征值、特征向量及其应用展开，是线性代数的核心章节之一。以下从四个核心考点系统梳理知识体系：
考点一：矩阵的特征值与特征向量
1. 计算方法
- 具体矩阵：
解特征方程 ∣ λ E − A ∣ = 0 |\lambda E - A| = 0 ∣λE−A∣=0 得特征值 λ i \lambda_i λi，再解齐次方程组 ( λ i E − A ) x = 0 (\lambda_i E - A)x = 0 (λiE−A)x=0 得特征向量。 - 抽象矩阵：
利用定义 A α = λ α A\alpha = \lambda\alpha Aα=λα 建立方程组求解。
2. 核心性质
- 特征值之和： ∑ i = 1 n λ i = tr ( A ) \sum_{i=1}^n \lambda_i = \text{tr}(A) ∑i=1nλi=tr(A)（矩阵的迹）
- 不同特征值的特征向量线性无关
- 同一特征值线性无关特征向量个数不超过特征值的个数
- 相关矩阵的特征值：
矩阵类型 特征值 特征向量 A A A λ \lambda λ α \alpha α A 2 A^2 A2 λ 2 \lambda^2 λ2 α \alpha α f ( A ) f(A) f(A) f ( λ ) f(\lambda) f(λ) α \alpha α A − 1 A^{-1} A−1 λ − 1 \lambda^{-1} λ−1 α \alpha α A ⊤ A^\top A⊤ 同 A A A 未知 B = P − 1 A P B = P^{-1}AP B=P−1AP 同 A A A P − 1 α P^{-1}\alpha P−1α
3. 秩为1矩阵的特殊情况
- 特征值：
λ 1 = tr ( A ) , λ 2 = ⋯ = λ n = 0 \lambda_1 = \text{tr}(A), \lambda_2 = \cdots = \lambda_n = 0 λ1=tr(A),λ2=⋯=λn=0 - 可相似对角化条件：
当且仅当 A A A 的非零特征值等于迹（即秩为1且迹非零）
考点二：相似矩阵
1. 定义与性质
- 定义：存在可逆矩阵 P P P 使 P − 1 A P = B P^{-1}AP = B P−1AP=B，记作 A ∼ B A \sim B A∼B
- 必要条件：
① 特征值相同
② 秩相等
③ 相似矩阵必合同（实对称矩阵） - 充要条件：
① 若 A ∼ C A \sim C A∼C 且 B ∼ C B \sim C B∼C，则 A ∼ B A \sim B A∼B
② 实对称矩阵： λ A = λ B ⇔ A ∼ B \lambda_A = \lambda_B \Leftrightarrow A \sim B λA=λB⇔A∼B
2. 特殊结论
- 矩阵相似性：
A ∼ B ⇔ A ∗ ∼ B ∗ A \sim B \Leftrightarrow A^* \sim B^* A∼B⇔A∗∼B∗（需 ∣ A ∣ = ∣ B ∣ |A|=|B| ∣A∣=∣B∣ 且 A A A 与 B B B 可逆）
A ∼ B ⇔ A T ∼ B T A \sim B \Leftrightarrow A^T \sim B^T A∼B⇔AT∼BT（需 ∣ A ∣ = ∣ B ∣ |A|=|B| ∣A∣=∣B∣ 且 A A A 与 B B B 可逆）
A ∼ B ⇔ A − 1 ∼ B − 1 A \sim B \Leftrightarrow A^{-1} \sim B^{-1} A∼B⇔A−1∼B−1（需 ∣ A ∣ = ∣ B ∣ |A|=|B| ∣A∣=∣B∣ 且 A A A 与 B B B 可逆） - 多项式矩阵相似性：
A ∼ B ⇒ ( A + k E ) ∼ ( B + k E ) A \sim B \Rightarrow (A + kE) \sim (B + kE) A∼B⇒(A+kE)∼(B+kE)
考点三：相似对角化
1. 解题步骤
- 求特征方程 ∣ λ E − A ∣ = 0 |\lambda E - A| = 0 ∣λE−A∣=0 得所有特征值
- 对每个特征值解 ( λ i E − A ) x = 0 (\lambda_i E - A)x = 0 (λiE−A)x=0 得基础解系
- 构造矩阵 P = ( α 1 , α 2 , … , α n ) P = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n) P=(α1,α2,…,αn)，使 P − 1 A P = Λ P^{-1}AP = \Lambda P−1AP=Λ
2. 充要条件
- 定理： n n n 阶矩阵可相似对角化 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ 每个特征值对应的线性无关特征向量个数等于其重数
- 分情况讨论：
- 单根特征值：必存在足够特征向量
- 重根特征值：需满足 r ( λ i E − A ) = n − k r(\lambda_i E - A) = n - k r(λiE−A)=n−k（ k k k 为重数）
考点四：合同对角化（实对称矩阵）
1. 实对称矩阵性质
- 特征值均为实数
- 不同特征值对应的特征向量正交
- 必可相似且合同对角化
2. 合同对角化步骤
- 求特征方程 ∣ λ E − A ∣ = 0 |\lambda E - A| = 0 ∣λE−A∣=0 得特征值
- 解 ( λ i E − A ) x = 0 (\lambda_i E - A)x = 0 (λiE−A)x=0 得正交特征向量
- 正交化 + 单位化得正交矩阵 Q Q Q
- 验证 Q ⊤ A Q = Λ Q^\top A Q = \Lambda Q⊤AQ=Λ
3. 施密特正交
设向量组 α 1 , α 2 , … , α s \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s α1,α2,…,αs 线性无关，将其正交化为 β 1 , β 2 , … , β s \beta_1, \beta_2, \dots, \beta_s β1,β2,…,βs，再单位化为 γ 1 , γ 2 , … , γ s \gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_s γ1,γ2,…,γs。具体步骤如下：
正交化公式：
β 1 = α 1 β 2 = α 2 − ( α 2 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 β 3 = α 3 − ( α 3 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 − ( α 3 , β 2 ) ( β 2 , β 2 ) β 2 ⋮ β k = α k − ∑ i = 1 k − 1 ( α k , β i ) ( β i , β i ) β i \begin{aligned} \beta_1 &= \alpha_1 \\ \beta_2 &= \alpha_2 - \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1 \\ \beta_3 &= \alpha_3 - \frac{(\alpha_3, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1 - \frac{(\alpha_3, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)} \beta_2 \\ &\vdots \\ \beta_k &= \alpha_k - \sum_{i=1}^{k-1} \frac{(\alpha_k, \beta_i)}{(\beta_i, \beta_i)} \beta_i \end{aligned} β1β2β3βk=α1=α2−(β1,β1)(α2,β1)β1=α3−(β1,β1)(α3,β1)β1−(β2,β2)(α3,β2)β2⋮=αk−i=1∑k−1(βi,βi)(αk,βi)βi
符号说明：
- ( ⋅ , ⋅ ) (\cdot, \cdot) (⋅,⋅) 表示向量内积（点积）
- β k \beta_k βk 是 α 1 , α 2 , … , α k \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_k α1,α2,…,αk 的正交线性组合
单位化公式：
γ i = β i ∥ β i ∥ ( i = 1 , 2 , … , s ) \gamma_i = \frac{\beta_i}{\|\beta_i\|} \quad (i=1,2,\dots,s) γi=∥βi∥βi(i=1,2,…,s)
其中 ∥ β i ∥ = ( β i , β i ) \|\beta_i\| = \sqrt{(\beta_i, \beta_i)} ∥βi∥=(βi,βi) 为向量模长。
示例验证 设 α 1 = ( 1 , 1 , 0 ) ⊤ , α 2 = ( 1 , 0 , 1 ) ⊤ \alpha_1=(1,1,0)^\top, \alpha_2=(1,0,1)^\top α1=(1,1,0)⊤,α2=(1,0,1)⊤，正交化过程为： β 1 = ( 1 , 1 , 0 ) ⊤ β 2 = ( 1 , 0 , 1 ) ⊤ − ( 1 , 0 , 1 ) ⋅ ( 1 , 1 , 0 ) ( 1 , 1 , 0 ) ⋅ ( 1 , 1 , 0 ) ( 1 , 1 , 0 ) ⊤ = ( 1 , 0 , 1 ) ⊤ − 1 2 ( 1 , 1 , 0 ) ⊤ = ( 1 2 , − 1 2 , 1 ) ⊤ \begin{aligned} \beta_1 &= (1,1,0)^\top \\ \beta_2 &= (1,0,1)^\top - \frac{(1,0,1) \cdot (1,1,0)}{(1,1,0) \cdot (1,1,0)} (1,1,0)^\top \\ &= (1,0,1)^\top - \frac{1}{2}(1,1,0)^\top = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1)^\top \end{aligned} β1β2=(1,1,0)⊤=(1,0,1)⊤−(1,1,0)⋅(1,1,0)(1,0,1)⋅(1,1,0)(1,1,0)⊤=(1,0,1)⊤−21(1,1,0)⊤=(21,−21,1)⊤ 单位化后得： γ 1 = 1 2 ( 1 , 1 , 0 ) ⊤ , γ 2 = 6 3 ( 1 2 , − 1 2 , 1 ) ⊤ \gamma_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)^\top, \quad \gamma_2 = \frac{\sqrt{6}}{3}(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1)^\top γ1=21(1,1,0)⊤,γ2=36(21,−21,1)⊤
总结
本章需重点掌握：
- 特征值计算与性质的综合应用
- 相似对角化的充要条件及步骤
- 实对称矩阵的正交对角化流程
建议结合真题训练，强化特征向量正交性与合同变换的结合应用。