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【分组背包数论】P12160 [蓝桥杯 2025 省 Java B] 2 的幂|普及+

ds 2025/9/1 16:40:48

本文涉及知识点

C++背包问题
数论：质数、最大公约数、菲蜀定理

P12160 [蓝桥杯 2025 省 Java B] 2 的幂

题目描述

小明很喜欢 $2$ 的幂，所以他想对一个长度为 $n$ 的正整数数组 $\{a_1, a_2, \dots, a_n\}$ 进行改造。他可以进行如下操作任意多次（可以是 $0$ 次）：任选一个数 $a_i$ 加上任意正整数，但不能使得加完之后的结果超过 $10^5$ 。

在操作任意次后，小明希望所有数的乘积是 $2^k$ 的倍数。他想知道总共需要加的数的总和至少是多少？

输入格式

输入共两行。

第一行为两个正整数 $n, k$ 。
第二行为 $n$ 个由空格分开的正整数 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 。

输出格式

输出共 $1$ 行，一个整数表示答案。如果不能满足条件，输出 $- 1$ 。

输入输出样例 #1

输入 #1

3 9
19 10 3

输出 #1

说明/提示

样例说明

将三个数分别加到 $24, 16, 4$ ，它们的乘积为 $2^9 \times 3$ ，加的数的总和为 $5 + 6 + 1 = 12$ 。

评测用例规模与约定

对于 $20\%$ 的评测用例， $\leq 10$ 。
对于 $100\%$ 的评测用例， $1\leq n \leq 500$ ， $1\leq k \leq 5000$ ， $1\leq a_i \leq 100000$ 。

贪心（错误）

任意x都是可以表示为
{ y,b,c }
其中 $2^b\times c$ ，初始b是0, c是x。如果c是偶数，y等于0；否则y = 2^b。
这些元素出堆、入队K次。出堆后：c += y ，ans+=y。c/=2 b++，重新计算y。入堆。如果入堆前发现 $2^b\times c > 1e5$ ，返回-1。
结果就是ans。
贪心会陷入局部最优解。比如：K=4,a={1,12},直接将12改成16就可以了。没有必要修改1，让人想到反悔贪心，而反悔贪心，让我想到分组背包。

分组背包

f(x,b)将x变成 $2^b$ 的倍数，需要增加的数。如果x是 $2^b$ 的倍数，f(x,b)是0，否则f(x,b)=g(x,b)= $\frac{x}{2^b}\times {2^b}+{2^b}$
如果g(x,b) > 1e5，则f(x,b) = LLONG_MAX/2。
dp[i][k] 修改了前i个数，前i个数的乘积是 $2^k$ 倍最少需要增加多少。
注意：如果最终结果dp.back()[k]，如果 >= LLONG_MAX/2,返回-1。
三层循环，前两层循环枚举前驱状态i,k，第三层循环当前选择b=0 to 20。
动态规划的初始值：dp[0][0]=0,其它LLONG_MAX/2。
时间复杂度：O(NKlog1e5)

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>#include <bitset>
using namespace std;template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {in >> pr.first >> pr.second;return in;
}template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6, class T7 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4,T5,T6,T7>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) >> get<6>(t);return in;
}template<class T = int>
vector<T> Read() {int n;cin >> n;vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {vector<T> ret;T tmp;while (cin >> tmp) {ret.emplace_back(tmp);if ('\n' == cin.get()) { break; }}return ret;
}template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:COutBuff() {m_p = puffer;}template<class T>void write(T x) {int num[28], sp = 0;if (x < 0)*m_p++ = '-', x = -x;if (!x)*m_p++ = 48;while (x)num[++sp] = x % 10, x /= 10;while (sp)*m_p++ = num[sp--] + 48;AuotToFile();}void writestr(const char* sz) {strcpy(m_p, sz);m_p += strlen(sz);AuotToFile();}inline void write(char ch){*m_p++ = ch;AuotToFile();}inline void ToFile() {fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);m_p = puffer;}~COutBuff() {ToFile();}
private:inline void AuotToFile() {if (m_p - puffer > N - 100) {ToFile();}}char  puffer[N], * m_p;
};template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:inline CInBuff() {}inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {FileToBuf();while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车ch = *S++;return *this;}inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {FileToBuf();int x(0), f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		return *this;}inline CInBuff& operator>>(long long& val) {FileToBuf();long long x(0); int f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行return *this;}template<class T1, class T2>inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {*this >> val.first >> val.second;return *this;}template<class T1, class T2, class T3>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);return *this;}template<class T1, class T2, class T3, class T4>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);return *this;}template<class T = int>inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {int n;*this >> n;val.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> val[i];}return *this;}template<class T = int>vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> ret[i];}return ret;}template<class T = int>vector<T> Read() {vector<T> ret;*this >> ret;return ret;}
private:inline void FileToBuf() {const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);if (canRead >= 100) { return; }if (m_bFinish) { return; }for (int i = 0; i < canRead; i++){buffer[i] = S[i];//memcpy出错			}m_iWritePos = canRead;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }m_iWritePos += readCnt;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;}int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;char buffer[N + 10], * S = buffer;
};class Solution {public:long long Ans( const int K, vector<int>& a) {	auto Need = [&](int x, int bit) {const int mask = 1 << bit;if (0 == x % mask) { return 0; }const int iNew = x + mask - x % mask;if (iNew > 100'000) { return -1; }return iNew-x;};vector<long long> pre(K + 1,LLONG_MAX/2);pre[0] = 0;for (const auto& x : a) {vector<long long> cur(K + 1, LLONG_MAX / 2);for (int ip = 0; ip <= K; ip++) {for (int b = 0; (b < 20)&&(ip+b<=K); b++) {const int iAdd = Need(x, b);if (-1 == iAdd) { continue; }cur[ip + b] = min(cur[ip + b], pre[ip] + iAdd);}}pre.swap(cur);}const auto& ans = pre.back();return (ans >= LLONG_MAX / 2) ? -1 : ans;}};int main() {
#ifdef _DEBUGfreopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);//CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;int N,K;cin >> N >> K  ;auto a = Read<int>(N);
#ifdef _DEBUG	printf("K=%d", K);//Out(W, ",W=");//Out(edge, ",edge=");Out(grid, ",grid=");Out(a, ",a=");Out(rr, ",rr=");//  //Out(ab, ",ab=");//  //Out(par, "par=");//  //Out(que, "que=");//  //Out(B, "B=");
#endif // DEBUG	auto res = Solution().Ans(K, a);	cout << res << "\n";return 0;
};

单元测试

		int  K;vector<int> a;TEST_METHOD(TestMethod11){K = 9, a = { 19,10,3 };auto res = Solution().Ans(K,a);AssertEx(12LL, res);}TEST_METHOD(TestMethod12){const int X = 5 * 5 * 5 * 5 * 5;K = 5, a = { X };auto res = Solution().Ans(K, a);AssertEx(X/32*32LL+32-X, res);}TEST_METHOD(TestMethod13){K = 20, a = {1 };auto res = Solution().Ans(K, a);AssertEx(-1LL, res);}TEST_METHOD(TestMethod14){K = 12, a = { 100000,64 };auto res = Solution().Ans(K, a);AssertEx(64LL, res);}TEST_METHOD(TestMethod15){K = 4, a = { 33,13 };auto res = Solution().Ans(K, a);AssertEx(3LL, res);}

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